実数 $x, y$ に対して、ベクトル $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$ が $0 \le \vec{p} \cdot \vec{a} \le 1$ かつ $0 \le \vec{p} \cdot \vec{b} \le 1$ を満たすための必要十分条件を求め、その条件のもとで $\vec{p} \cdot \vec{c}$ の最大値を求め、そのときの $\vec{p}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表す問題です。ただし、$\vec{c}$ は問題文に明記されていないので、$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ と仮定して問題を解きます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ に対して、ベクトル $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$ が $0 \le \vec{p} \cdot \vec{a} \le 1$ かつ $0 \le \vec{p} \cdot \vec{b} \le 1$ を満たすための必要十分条件を求め、その条件のもとで $\vec{p} \cdot \vec{c}$ の最大値を求め、そのときの $\vec{p}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表す問題です。ただし、$\vec{c}$ は問題文に明記されていないので、$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ と仮定して問題を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$0 \le \vec{p} \cdot \vec{a} \le 1$ と $0 \le \vec{p} \cdot \vec{b} \le 1$ を $x$ と $y$ で表します。

$\vec{p} \cdot \vec{a} = (x\vec{a} + y\vec{b}) \cdot \vec{a} = x|\vec{a}|^2 + y(\vec{a} \cdot \vec{b})$

$\vec{p} \cdot \vec{b} = (x\vec{a} + y\vec{b}) \cdot \vec{b} = x(\vec{a} \cdot \vec{b}) + y|\vec{b}|^2$

問題文の条件より、$|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$ であり、$\vec{a} \cdot \vec{b} = \cos{\theta}$ とします。

すると、$0 \le x + y\cos{\theta} \le 1$ かつ $0 \le x\cos{\theta} + y \le 1$ となります。

$x$ と $y$ の範囲を決定するために、$\theta = \frac{\pi}{3}$、つまり $\cos{\theta} = \frac{1}{2}$ と仮定します。このとき、条件は $0 \le x + \frac{1}{2}y \le 1$ かつ $0 \le \frac{1}{2}x + y \le 1$ となります。

これから、$x$ の範囲は $0 \le x \le 2$、かつ $y$ の範囲は $0 \le y \le 2$ と推測できます。より正確には、$0 \le x \le 2$ かつ $0 \le y \le 2$ で $0 \le x + \frac{1}{2}y \le 1$ と $0 \le \frac{1}{2}x + y \le 1$ を満たす範囲を求めます。

次に、$\vec{p} \cdot \vec{c} = (x\vec{a} + y\vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = x|\vec{a}|^2 + x(\vec{a} \cdot \vec{b}) + y(\vec{b} \cdot \vec{a}) + y|\vec{b}|^2 = x + x\cos{\theta} + y\cos{\theta} + y = x + y + (x+y)\cos{\theta} = (x+y)(1 + \cos{\theta})$ となります。$\cos{\theta} = \frac{1}{2}$ のとき、$\vec{p} \cdot \vec{c} = \frac{3}{2}(x+y)$ となります。

ここで、$x + \frac{1}{2}y \le 1$ かつ $\frac{1}{2}x + y \le 1$ なので、$x+y$ の最大値を求めます。$x+y \le 2$ です。

このとき、$\vec{p} \cdot \vec{c}$ の最大値は $\frac{3}{2} \times 2 = 3$ であり、最大値を取るのは $x=1$ かつ $y=1$ のときです。

このとき、$\vec{p} = \vec{a} + \vec{b}$ となります。

元の問題文より、$0 \le x \le 1$, $x/ \sqrt{3} \le y \le x + \sqrt{3}$ なので、仮定は誤りです。

$0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1$.

$\vec{c} = \vec{a}+\vec{b}$ のとき、$\vec{p} \cdot \vec{c} = (x\vec{a} + y\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = x + x\cos\theta + y \cos\theta + y$.

$\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき、$\vec{p} \cdot \vec{c} = x + y + \frac{x+y}{2} = \frac{3}{2}(x+y)$. $x+y$ の最大値は $x=1$, $y=1$ のとき $2$。$\frac{3}{2}*2 = 3$.

$\vec{p} = \vec{a}+\vec{b}$.

3. 最終的な答え

コ: 0

サ: 1

シ: 0

ス: 1

セ: 2

ソ: 1

タ: 1