三角形の辺の長さ$a = 4\sqrt{2}$、辺の長さ$c = 8$、角$C = 45^\circ$が与えられたとき、他の角$A$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形の辺の長さ$a = 4\sqrt{2}$、辺の長さ$c = 8$、角$C = 45^\circ$が与えられたとき、他の角$A$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いて角$A$を求めます。

正弦定理は、三角形の各辺の長さを$a, b, c$、それぞれの対角の大きさを$A, B, C$とすると、以下のようになります。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

今回は、$a, c, C$が与えられているので、$A$を求めるために、以下の関係式を用います。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

この式を$\sin A$について解くと、

$\sin A = \frac{a \sin C}{c}$

与えられた値を代入します。$a = 4\sqrt{2}, c = 8, C = 45^\circ$なので、

$\sin A = \frac{4\sqrt{2} \sin 45^\circ}{8}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$なので、

$\sin A = \frac{4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{8} = \frac{4 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

$\sin A = \frac{1}{2}$を満たす角$A$は、$A = 30^\circ$または$A = 150^\circ$です。

しかし、$A=150^\circ$の場合、$A+C=150^\circ+45^\circ=195^\circ>180^\circ$となるので、三角形の内角の和が180°を超えるため不適です。

したがって、$A=30^\circ$です。

3. 最終的な答え

$A = 30^\circ$