三角形ABCにおいて、$a=\sqrt{6}$, $b=3+\sqrt{3}$, $C=45^\circ$のとき、残りの辺$c$の長さと角$A$, $B$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=\sqrt{6}$, $b=3+\sqrt{3}$, $C=45^\circ$のとき、残りの辺$c$の長さと角$A$, $B$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて辺$c$の長さを求める。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

$c^2 = (\sqrt{6})^2 + (3+\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{6}(3+\sqrt{3})\cos 45^\circ$

$c^2 = 6 + (9+6\sqrt{3}+3) - 2\sqrt{6}(3+\sqrt{3})\frac{\sqrt{2}}{2}$

$c^2 = 18 + 6\sqrt{3} - \sqrt{12}(3+\sqrt{3})$

$c^2 = 18 + 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3}(3+\sqrt{3})$

$c^2 = 18 + 6\sqrt{3} - (6\sqrt{3}+6)$

$c^2 = 18 + 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} - 6$

$c^2 = 12$

$c = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

次に、正弦定理を用いて角Aを求める。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{\sqrt{6}}{\sin A} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin 45^\circ}$

$\sin A = \frac{\sqrt{6}\sin 45^\circ}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}(\frac{\sqrt{2}}{2})}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{12}}{4\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

$A = 30^\circ$または$A = 150^\circ$

$A = 150^\circ$のとき、$A+C = 150^\circ + 45^\circ = 195^\circ > 180^\circ$となるため、三角形の内角の和の条件を満たさない。

したがって、$A = 30^\circ$

最後に、三角形の内角の和を用いて角Bを求める。

$A+B+C = 180^\circ$

$30^\circ + B + 45^\circ = 180^\circ$

$B = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ$

$B = 105^\circ$

3. 最終的な答え

$c = 2\sqrt{3}$

$A = 30^\circ$

$B = 105^\circ$