与えられた2つの放物線について、その概形を描き、焦点と準線を求めよ。 (1) $x^2 = 4y$ (2) $y = -2x^2$

1. 問題の内容

与えられた2つの放物線について、その概形を描き、焦点と準線を求めよ。

(1) $x^2 = 4y$

(2) $y = -2x^2$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 = 4y$ の場合:

これは標準的な放物線の形 $x^2 = 4py$ で、頂点は原点(0,0)です。$4p = 4$ より、$p = 1$です。

- 焦点は(0, p) = (0, 1)です。

- 準線は y = -p なので、y = -1です。

(2) $y = -2x^2$ の場合:

この式を $x^2 = 4py$ の形に変形します。

$x^2 = -\frac{1}{2}y$ となります。

したがって、$4p = -\frac{1}{2}$ なので、$p = -\frac{1}{8}$です。

- 焦点は(0, p) = $(0, -\frac{1}{8})$です。

- 準線は y = -p なので、$y = \frac{1}{8}$です。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 = 4y$

- 焦点: (0, 1)

- 準線: y = -1

(2) $y = -2x^2$

- 焦点: $(0, -\frac{1}{8})$

- 準線: $y = \frac{1}{8}$