点(5, 6)を通り、円 $(x-3)^2 + (y-1)^2 = 4$ に接する直線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

点(5, 6)を通り、円 $(x-3)^2 + (y-1)^2 = 4$ に接する直線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、点 (5, 6) を通る直線で、x = 定数となるものは、x = 5 です。これが円に接するかどうかを確認します。円の中心 (3, 1) と直線 x = 5 の距離は $|5-3| = 2$ となり、円の半径 $\sqrt{4} = 2$ と等しいので、x = 5 は円の接線です。

次に、傾きが $m$ である直線の場合を考えます。点 (5, 6) を通るので、直線の方程式は $y - 6 = m(x - 5)$ となります。これを変形すると $mx - y - 5m + 6 = 0$ となります。問題文には $mx - y - \boxed{2}m + \boxed{3} = 0$と書いてあるので、$\boxed{2}=5, \boxed{3} = 6$が正しいです。

円 $(x-3)^2 + (y-1)^2 = 4$ の中心は (3, 1) で、半径は 2 です。

直線 $mx - y - 5m + 6 = 0$ と円の中心 (3, 1) の距離が 2 に等しくなるので、点と直線の距離の公式より、

$\frac{|3m - 1 - 5m + 6|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$

$\frac{|-2m + 5|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$

両辺を2乗すると

$(-2m + 5)^2 = 4(m^2 + 1)$

$4m^2 - 20m + 25 = 4m^2 + 4$

$-20m = -21$

$m = \frac{21}{20}$

問題文の式 $\frac{|-5m + 6|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 4$ は間違っています。正しくは $\frac{|3m - 1 - 5m + 6|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$　または $\frac{|-2m+5|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$となります。

このとき、$|-2m + 5| = |-2 \cdot \frac{21}{20} + 5| = |-\frac{21}{10} + \frac{50}{10}| = \frac{29}{10}$. また, $\sqrt{m^2+1} = \sqrt{(\frac{21}{20})^2 + 1} = \sqrt{\frac{441}{400} + \frac{400}{400}} = \sqrt{\frac{841}{400}} = \frac{29}{20}$. よって, $\frac{|-2m+5|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{29/10}{29/20} = 2$となり矛盾はありません。

この $m$ を用いて、直線の方程式は $y - 6 = \frac{21}{20}(x - 5)$ なので、$20y - 120 = 21x - 105$ より、$21x - 20y + 15 = 0$ となります。

まとめると、2本の直線は $x=5$ と $21x - 20y + 15 = 0$ です。

問題文の形式に合わせると、

1: 5

2: 5

3: 6

4: 2

5: 2

6: 5

7: 2

8: 1

9: 2

10: 0

11: 2

12: 1

13: -

14: 2

15: 0

16: +15

3. 最終的な答え

x = 5

21x - 20y + 15 = 0