円 $C: (x-1)^2 + y^2 = 5$ と直線 $l: y = 2x + k$ の位置関係が、定数 $k$ の値によってどのように変わるかを求める問題です。

1. 問題の内容

円 $C: (x-1)^2 + y^2 = 5$ と直線 $l: y = 2x + k$ の位置関係が、定数 $k$ の値によってどのように変わるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

円と直線の位置関係は、円の中心と直線の距離 $d$ と、円の半径 $r$ を比較することで判断できます。

- $d < r$ のとき、円と直線は2点で交わる

- $d = r$ のとき、円と直線は接する

- $d > r$ のとき、円と直線は交わらない

まず、円 $C$ の中心の座標と半径を求めます。

円の式 $(x-1)^2 + y^2 = 5$ より、中心は $(1, 0)$、半径は $r = \sqrt{5}$ です。

次に、点 $(1, 0)$ と直線 $y = 2x + k$ の距離 $d$ を求めます。

直線の式を $2x - y + k = 0$ と変形し、点と直線の距離の公式を用います。

$d = \frac{|2(1) - 0 + k|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2+k|}{\sqrt{5}}$

円と直線の位置関係を調べるため、$d$ と $r$ の関係を考えます。

- 2点で交わる場合: $d < r$ $\rightarrow$ $\frac{|2+k|}{\sqrt{5}} < \sqrt{5}$ $\rightarrow$ $|2+k| < 5$ $\rightarrow$ $-5 < 2+k < 5$ $\rightarrow$ $-7 < k < 3$

- 接する場合: $d = r$ $\rightarrow$ $\frac{|2+k|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$ $\rightarrow$ $|2+k| = 5$ $\rightarrow$ $2+k = 5$ または $2+k = -5$ $\rightarrow$ $k = 3$ または $k = -7$

- 交わらない場合: $d > r$ $\rightarrow$ $\frac{|2+k|}{\sqrt{5}} > \sqrt{5}$ $\rightarrow$ $|2+k| > 5$ $\rightarrow$ $2+k > 5$ または $2+k < -5$ $\rightarrow$ $k > 3$ または $k < -7$

3. 最終的な答え

- $-7 < k < 3$ のとき、2点で交わる。

- $k = 3$ または $k = -7$ のとき、接する。

- $k < -7$ または $k > 3$ のとき、交わらない。