三角形ABCにおいて、$b = 2\sqrt{3}$, $A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$が与えられている。残りの辺の長さ$a, c$と角の大きさ$C$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b = 2\sqrt{3}$, $A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$が与えられている。残りの辺の長さ$a, c$と角の大きさ$C$を求める。

2. 解き方の手順

まず、$C$の大きさを求める。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$

次に、正弦定理を使って$a$の長さを求める。正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

なので、

$a = \frac{b \sin A}{\sin B} = \frac{2\sqrt{3} \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 3\sqrt{2}$

最後に、再び正弦定理を使って$c$の長さを求める。

$\frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B}$

なので、

$c = \frac{b \sin C}{\sin B} = \frac{2\sqrt{3} \sin 75^\circ}{\sin 45^\circ}$

$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$

よって、

$c = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{3} (\sqrt{3} + 1) = 3 + \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$a = 3\sqrt{2}$

$c = 3 + \sqrt{3}$

$C = 75^\circ$