正五角形ABCDEがある。(1)5個の頂点のうち3点を結んで三角形を作るとき、三角形は何個できるか。(2)対角線は何本あるか。

1. 問題の内容

正五角形ABCDEがある。(1)5個の頂点のうち3点を結んで三角形を作るとき、三角形は何個できるか。(2)対角線は何本あるか。

2. 解き方の手順

(1)5つの頂点から3つを選ぶ組み合わせを考えます。これは組み合わせの記号で $_5C_3$ と表されます。

$_5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$

(2)対角線は、正五角形の頂点から自分自身と隣り合う頂点を除いた頂点を結ぶ線です。

正五角形には5つの頂点があり、それぞれの頂点から引ける対角線は2本です(自分自身と両隣の頂点を除く)。

したがって、一見すると対角線の数は $5 \times 2 = 10$ 本となります。

しかし、この計算では各対角線を2回数えているため、2で割る必要があります。

したがって、対角線の数は $\frac{10}{2} = 5$ 本です。

または、正五角形の5つの頂点から2つを選ぶ組み合わせから、辺の数(5)を引くことでも求められます。

$_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$

辺の数を引くと $10-5=5$本

3. 最終的な答え

(1) 10個

(2) 5本