三角形ABCにおいて、以下の条件が与えられています。 (1) $b = 2\sqrt{3}, A = 60^\circ, B = 45^\circ$ 残りの辺の長さ $a, c$ と角 $C$ の大きさを求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、以下の条件が与えられています。

(1) $b = 2\sqrt{3}, A = 60^\circ, B = 45^\circ$

残りの辺の長さ $a, c$ と角 $C$ の大きさを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 角Cを求めます。三角形の内角の和は180度なので、

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$

(2) 正弦定理を用いて、辺aを求めます。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ より、

$a = \frac{b \sin A}{\sin B} = \frac{2\sqrt{3} \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{3}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 3\sqrt{2}$

(3) 再び正弦定理を用いて、辺cを求めることも可能ですが、余弦定理を利用します。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$ から $c$ を求めることは複雑になるので、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ より $c$ を求めることを検討します。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$(3\sqrt{2})^2 = (2\sqrt{3})^2 + c^2 - 2(2\sqrt{3})c \cos 60^\circ$

$18 = 12 + c^2 - 4\sqrt{3} c \cdot \frac{1}{2}$

$18 = 12 + c^2 - 2\sqrt{3} c$

$c^2 - 2\sqrt{3} c - 6 = 0$

解の公式を用いて$c$を求めます。

$c = \frac{-(-2\sqrt{3}) \pm \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 + 24}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm 6}{2} = \sqrt{3} \pm 3$

$c$は辺の長さなので正の値をとる必要があります。したがって、$c = 3 + \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$a = 3\sqrt{2}$

$c = 3 + \sqrt{3}$

$C = 75^\circ$