三角形ABCがあり、AB=2、BC=√6、CA=3である。円Oは点Aを通り、点Bで直線BCに接している。また、円Oは辺ACとA以外の交点Dを持つ。さらに、∠Aの二等分線と辺BCとの交点をEとする。 (1) △ABC∽△BDCを証明せよ。 (2) 線分CDの長さを求めよ。また、BE:ECを最も簡単な整数の比で表せ。 (3) 線分AE、BDの交点をFとするとき、AF/FEを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、AB=2、BC=√6、CA=3である。円Oは点Aを通り、点Bで直線BCに接している。また、円Oは辺ACとA以外の交点Dを持つ。さらに、∠Aの二等分線と辺BCとの交点をEとする。

(1) △ABC∽△BDCを証明せよ。

(2) 線分CDの長さを求めよ。また、BE:ECを最も簡単な整数の比で表せ。

(3) 線分AE、BDの交点をFとするとき、AF/FEを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) △ABC∽△BDCの証明

まず、円周角の定理より、∠BAC = ∠BDCである。

次に、接弦定理より、∠ABC = ∠BCDである。

したがって、2角がそれぞれ等しいので、△ABC∽△BDCである。

(2) 線分CDの長さとBE:EC

△ABC∽△BDCより、対応する辺の比は等しいので、

$AB/BD = BC/CD = CA/BC$

$2/BD = \sqrt{6}/CD = 3/\sqrt{6}$

$3/\sqrt{6} = \sqrt{6}/2$なので、

$\sqrt{6}/CD = 3/\sqrt{6}$

$CD = \sqrt{6}*\sqrt{6}/3 = 6/3 = 2$

したがって、CD = 2である。

次に、角の二等分線の性質より、

$BE/EC = AB/AC = 2/3$

したがって、BE:EC = 2:3である。

(3) AF/FE

メネラウスの定理を△BCEと直線ADに適用すると、

$(CD/DA) * (AF/FE) * (EB/BC) = 1$

$CD=2, CA=3$なので、$AD = CA - CD = 3 - 2 = 1$

したがって、$CD/DA = 2/1 = 2$

$BE:EC = 2:3$なので、$BE = (2/5)BC = (2/5)\sqrt{6}$

$EB/BC = (2/5)\sqrt{6}/\sqrt{6} = 2/5$

よって、

$2 * (AF/FE) * (2/5) = 1$

$(4/5) * (AF/FE) = 1$

$AF/FE = 5/4$

3. 最終的な答え

(1) △ABC∽△BDC (証明終わり)

(2) CD = 2, BE:EC = 2:3

(3) AF/FE = 5/4