三角形ABCにおいて、点Oが外心であるとき、与えられた角度から角xの大きさを求める問題です。 (1)では、$\angle BAC = 25^\circ$, $\angle ACB = 35^\circ$が与えられており、$\angle ABO = x$を求めます。 (2)では、$\angle ABC = 25^\circ$, $\angle ACB = 65^\circ$が与えられており、$\angle BAO = x$を求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Oが外心であるとき、与えられた角度から角xの大きさを求める問題です。

(1)では、$\angle BAC = 25^\circ$, $\angle ACB = 35^\circ$が与えられており、$\angle ABO = x$を求めます。

(2)では、$\angle ABC = 25^\circ$, $\angle ACB = 65^\circ$が与えられており、$\angle BAO = x$を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

三角形の内角の和は180度なので、$\angle ABC$は、$180^\circ - 25^\circ - 35^\circ = 120^\circ$となります。

点Oは外心なので、$OA = OB = OC$です。よって、$\triangle OAB$と$\triangle OBC$は二等辺三角形です。

$\triangle OAB$は$OA = OB$の二等辺三角形なので、$\angle OAB = \angle ABO = x$です。

$\triangle OBC$は$OB = OC$の二等辺三角形なので、$\angle OBC = \angle OCB$です。

$\angle OCB = \angle ACB - \angle OCA$で表せます。

また、$\angle OAC = \angle OAB = 25^\circ$であるので、$\angle OAC = 25^\circ$です。

$\angle OBC = \angle OCB$なので、$\angle OBC = 35^\circ$となります。

したがって、$\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = x + 35^\circ$です。

$\angle ABC = 60^\circ$なので、$x + 35^\circ = 60^\circ$となり、$x = 25^\circ$となります。

(2)

三角形の内角の和は180度なので、$\angle BAC$は、$180^\circ - 25^\circ - 65^\circ = 90^\circ$となります。

点Oは外心なので、$OA = OB = OC$です。よって、$\triangle OAB$と$\triangle OAC$は二等辺三角形です。

$\triangle OAB$は$OA = OB$の二等辺三角形なので、$\angle OAB = \angle OBA = x$です。したがって、$\angle OBA = 25^\circ$

$\triangle OAC$は$OA = OC$の二等辺三角形なので、$\angle OAC = \angle OCA$です。$\angle OCA = 65^\circ$

$\angle BAC = \angle BAO + \angle OAC$であり、$\angle BAC = 90^\circ$なので、$x + 65^\circ = 90^\circ$となり、$x = 25^\circ$となります。

3. 最終的な答え

(1) 25

(2) 25