2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が与えられたとき、それらの内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ と、それらがなす角 $\theta$ を求めます。問題には4つのケースが含まれています。ここでは、ケース(3)と(4)を解きます。

1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が与えられたとき、それらの内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ と、それらがなす角 $\theta$ を求めます。問題には4つのケースが含まれています。ここでは、ケース(3)と(4)を解きます。

2. 解き方の手順

ベクトルの内積は、それぞれの成分を掛け合わせて足し合わせることで計算できます。すなわち、$\vec{a} = (a_1, a_2)$ と $\vec{b} = (b_1, b_2)$ のとき、$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$ となります。

また、$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ が成り立つので、$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ から $\theta$ を求めることができます。ここで、$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ はベクトル $\vec{a}$ の大きさです。

ケース(3): $\vec{a} = (1, 1)$, $\vec{b} = (1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3})$

まず、内積を計算します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1-\sqrt{3}) + (1)(1+\sqrt{3}) = 1 - \sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} = 2$

次に、ベクトルの大きさを計算します。

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(1-\sqrt{3})^2 + (1+\sqrt{3})^2} = \sqrt{(1 - 2\sqrt{3} + 3) + (1 + 2\sqrt{3} + 3)} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\theta = \arccos \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$

ケース(4): $\vec{a} = (-3, 1)$, $\vec{b} = (3+\sqrt{3}, 3\sqrt{3}-1)$

まず、内積を計算します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3)(3+\sqrt{3}) + (1)(3\sqrt{3}-1) = -9 - 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 1 = -10$

次に、ベクトルの大きさを計算します。

$|\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(3+\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3}-1)^2} = \sqrt{(9 + 6\sqrt{3} + 3) + (27 - 6\sqrt{3} + 1)} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-10}{\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{10}} = \frac{-10}{20} = -\frac{1}{2}$

$\theta = \arccos \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3} = 120^\circ$

3. 最終的な答え

(3) 内積: 2、なす角: $60^\circ$

(4) 内積: -10、なす角: $120^\circ$