ベクトル $\vec{a} = (2, 2, 1)$ と $\vec{b} = (4, 4, 2)$ が与えられたとき、これらのベクトルの内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ と、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, 2, 1)$ と $\vec{b} = (4, 4, 2)$ が与えられたとき、これらのベクトルの内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ と、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を計算する。

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(4) + (2)(4) + (1)(2) = 8 + 8 + 2 = 18$$

次に、各ベクトルの大きさを計算する。

$$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$$

$$|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$$

内積の定義式 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ を用いて、$\cos \theta$ を求める。

$$18 = (3)(6) \cos \theta$$

$$18 = 18 \cos \theta$$

$$\cos \theta = \frac{18}{18} = 1$$

$\cos \theta = 1$ となる $\theta$ を求める。

$\theta = 0$

3. 最終的な答え

内積: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 18$

なす角: $\theta = 0$