正七角形について、以下の個数を求めます。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 対角線の本数 (3) 正七角形と2辺を共有する三角形の個数

1. 問題の内容

正七角形について、以下の個数を求めます。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 対角線の本数

(3) 正七角形と2辺を共有する三角形の個数

2. 解き方の手順

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数：

正七角形の7個の頂点から3個の頂点を選ぶ組み合わせの数を求めます。これは組み合わせの公式 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算できます。ここで、$n=7$、$r=3$ です。

$_7C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(2) 対角線の本数：

正七角形の7個の頂点から2個の頂点を選ぶ組み合わせの数から、辺の数（7）を引きます。これは、すべての2点の組み合わせから、正七角形の辺を引くことで対角線のみを数えるためです。組み合わせの公式 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用います。ここで、$n=7$、$r=2$ です。

$_7C_2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

対角線の本数は $21 - 7 = 14$ 本です。

(3) 正七角形と2辺を共有する三角形の個数：

正七角形の辺を共有する三角形は、隣り合う2辺によって決定されます。正七角形には7つの辺があるので、2辺を共有する三角形は7つあります。

3. 最終的な答え

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数：35個

(2) 対角線の本数：14本

(3) 正七角形と2辺を共有する三角形の個数：7個