円Oにおいて、直線$l$は点Aで円に接しており、$\angle ABC = 110^\circ$、弧AB : 弧BC = 2 : 3である。このとき、$\angle x$ の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

円Oにおいて、直線$l$は点Aで円に接しており、$\angle ABC = 110^\circ$、弧AB : 弧BC = 2 : 3である。このとき、$\angle x$ の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

弧ABと弧BCの比が2:3なので、円周角の定理より、$\angle BAC$と$\angle CAB$の比も2:3となる。

$\angle BAC = 3y$、$\angle CAB = 2y$とおく。

接弦定理より、$\angle BAC = \angle x$。

よって、$x = 3y$。

また、$\angle ABC = 110^\circ$より、三角形の内角の和は180°なので、

$x + \angle ACB + \angle ABC = 180^\circ$

$3y + 2y + 110^\circ = 180^\circ$

$5y = 70^\circ$

$y = 14^\circ$

$x = 3y = 3 \times 14^\circ = 42^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle x = 42^\circ$