三角形ABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をR、辺BCを5:3に内分する点をPとする。直線PRと辺ACの交点をQとする。このとき、AQ:QCを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をR、辺BCを5:3に内分する点をPとする。直線PRと辺ACの交点をQとする。このとき、AQ:QCを求める。

2. 解き方の手順

この問題を解くためには、メネラウスの定理を利用します。

三角形ARCにおいて、直線PRが辺AR、AC、RCと交わっているので、メネラウスの定理より

$$\frac{AP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{RB}{BA} = 1$$

与えられた条件より、$AR:RB = 2:1$なので、$AR = 2k, RB = k$とおくと、$AB = AR + RB = 3k$。

よって、$RB:BA = k:3k = 1:3$となる。

また、$BC:CP = 5:3$なので、$BC = 5l, CP = 3l$とおくと、$BP = BC + CP = 5l + 3l = 8l$。しかし、ここでメネラウスの定理を使う三角形はARCなので、AP/PCが必要である。

$BC = 5$とおくと、$CP = 3$なので、$BP = BC + CP = 8$となる。

メネラウスの定理を適用する前に、$\frac{BP}{PC} = \frac{8}{3}$。よって、

$$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{RA}{AB} = 1$$

$$\frac{8}{3} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{2}{3} = 1$$

$$\frac{16}{9} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$$

$$\frac{CQ}{QA} = \frac{9}{16}$$

$$\frac{QA}{CQ} = \frac{16}{9}$$

したがって、$AQ:QC = 16:9$

3. 最終的な答え

16:9