問題5は、中心$(5, 4)$、半径$2$の円と直線$y = mx$が共有点を持つときの、定数$m$の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題5は、中心$(5, 4)$、半径$2$の円と直線$y = mx$が共有点を持つときの、定数$m$の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

円の方程式は、中心$(5, 4)$、半径$2$なので、

$(x-5)^2 + (y-4)^2 = 4$

直線$y = mx$と円が共有点を持つ条件は、円の中心$(5, 4)$と直線$y = mx$、つまり$mx - y = 0$との距離が、円の半径$2$以下であることです。点と直線の距離の公式より、

$\frac{|5m - 4|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} \le 2$

両辺を2乗すると、

$\frac{(5m - 4)^2}{m^2 + 1} \le 4$

$(5m - 4)^2 \le 4(m^2 + 1)$

$25m^2 - 40m + 16 \le 4m^2 + 4$

$21m^2 - 40m + 12 \le 0$

これを満たす$m$の範囲を求めるために、二次方程式$21m^2 - 40m + 12 = 0$の解を求めます。

$m = \frac{-(-40) \pm \sqrt{(-40)^2 - 4 \cdot 21 \cdot 12}}{2 \cdot 21}$

$m = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 1008}}{42}$

$m = \frac{40 \pm \sqrt{592}}{42}$

$m = \frac{40 \pm 4\sqrt{37}}{42}$

$m = \frac{20 \pm 2\sqrt{37}}{21}$

したがって、$m$の範囲は

$\frac{20 - 2\sqrt{37}}{21} \le m \le \frac{20 + 2\sqrt{37}}{21}$

求める$m$の最大値は、$\frac{20 + 2\sqrt{37}}{21}$となります。

3. 最終的な答え

$m$の最大値は $\frac{20 + 2\sqrt{37}}{21}$