点Tで直線$l$に接する2つの円O, O'がある。直線$l$上に点Pがあり、Pを通る2直線と円O, O'との交点をA, B, C, Dとする。このとき、4点A, B, C, Dが1つの円周上にあることを証明する。

1. 問題の内容

点Tで直線$l$に接する2つの円O, O'がある。直線$l$上に点Pがあり、Pを通る2直線と円O, O'との交点をA, B, C, Dとする。このとき、4点A, B, C, Dが1つの円周上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

円に内接する四角形の定理の逆を利用して証明する。

まず、方べきの定理を用いて、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$を示す。

* 円Oにおいて、PTは円Oの接線であるから、方べきの定理より、

$PT^2 = PA \cdot PB$

* 同様に、円O'において、PTは円O'の接線であるから、方べきの定理より、

$PT^2 = PC \cdot PD$

* したがって、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ が成り立つ。

* PA・PB = PC・PDが成立するので、方べきの定理の逆より、4点A, B, C, Dは同一円周上にある。

3. 最終的な答え

4点A, B, C, Dは1つの円周上にある。