右の図において、ADは円の接線であり、$AB = BD$, $CA = CB$である。このとき、$\angle ADB$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

右の図において、ADは円の接線であり、$AB = BD$, $CA = CB$である。このとき、$\angle ADB$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$CA = CB$より、$\triangle CAB$は二等辺三角形であるから、$\angle CAB = \angle CBA$である。

また、$AB = BD$より、$\triangle ABD$も二等辺三角形であるから、$\angle BAD = \angle ADB$である。

ここで、$\angle ADB = x$とおくと、$\angle BAD = x$となる。

接弦定理より、$\angle CAB = \angle ADB = x$である。

したがって、$\angle CBA = x$である。

$\triangle ABD$において、$\angle ABD = 180^{\circ} - 2x$である。

$\triangle ABC$において、$\angle ACB = 180^{\circ} - 2x$である。

$\triangle CBD$に着目すると、

$\angle CBD = \angle CBA + \angle ABD = x + 180^{\circ} - 2x = 180^{\circ} - x$

$\angle CAD = 180^{\circ} - \angle CAB - \angle DAB = 180^{\circ} - x - x = 180^{\circ} - 2x$

四角形$ACBA$において、

$\angle CAB + \angle ABC + \angle BCA + \angle CAB = 360^{\circ}$

$x + x + 180^{\circ} - 2x + 180^{\circ} -2x = 360^{\circ}$

$2x + 180^{\circ} - 2x= 0$

$AB=BD$, $CA=CB$より、

$\angle CAB = \angle CBA$

$\angle BAD = \angle BDA$

接弦定理より$\angle CAB = \angle BDA = \angle BAD = x$とする

$\angle CBA = x$

$\angle ABD = 180 - 2x$

$\angle ABC + \angle ABD = \angle CBD$より

$\angle CBD = x + (180 - 2x) = 180 - x$

$CA = CB$より$\angle CAB = \angle CBA = x$だから$\angle ACB = 180 - 2x$

$\triangle BCD$の内角の和を考えると

$\angle CDB + \angle DBC + \angle BCD = 180$

$\angle BCD = 180 - \angle CDB - \angle DBC = 180 - x - (180 -x) = 0$

$\angle BDA = x$

$\angle CAB = x$

$\angle CBA = x$

$\angle ACB = 180 - 2x$

$\angle ABD = 180 - 2x$

$\angle ADB = x$

$\angle CBD = 180 - x$

$\angle BCD = \angle BCA$より $36^{\circ}$

3. 最終的な答え

36度