xy平面上に2点A(-4, 0), B(0, 3)と円 $x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0$ 上の動点Pがある。 (1) A, Bを通る直線の方程式を求める。 (2) 円の中心の座標と半径を求める。 (3) △ABPの面積の最大値を求める。

1. 問題の内容

xy平面上に2点A(-4, 0), B(0, 3)と円 $x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0$ 上の動点Pがある。

(1) A, Bを通る直線の方程式を求める。

(2) 円の中心の座標と半径を求める。

(3) △ABPの面積の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) A(-4, 0), B(0, 3)を通る直線の方程式を求める。

直線の傾きは $\frac{3-0}{0-(-4)} = \frac{3}{4}$ である。

よって、求める直線の方程式は、

$y = \frac{3}{4}x + 3$

$4y = 3x + 12$

$3x - 4y + 12 = 0$

(2) 円の方程式 $x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0$ を変形して、円の中心と半径を求める。

$(x^2 - 4x) + (y^2 - 2y) + 4 = 0$

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) + 4 - 4 - 1 = 0$

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1$

よって、円の中心の座標は(2, 1)、半径は1である。

(3) △ABPの面積の最大値を求める。

ABを底辺としたとき、点Pが直線ABから最も遠いとき、面積は最大となる。

円の中心(2, 1)と直線 $3x - 4y + 12 = 0$ との距離dは、

$d = \frac{|3(2) - 4(1) + 12|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 - 4 + 12|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{14}{5}$

点Pと直線ABとの距離の最大値は、 $d + 半径 = \frac{14}{5} + 1 = \frac{19}{5}$

A, B間の距離は、$\sqrt{(0 - (-4))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

△ABPの面積の最大値は、$\frac{1}{2} \times 5 \times \frac{19}{5} = \frac{19}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $3x - 4y + 12 = 0$

(2) 中心(2, 1), 半径1

(3) $\frac{19}{2}$