点Oから円に2つの接線を引き、接点をA, Bとする。円周上の点Pから直線OA, OB, ABに引いた垂線の足をそれぞれQ, R, Sとする。このとき、$\triangle PAS \sim \triangle PBR$であることを証明する。

1. 問題の内容

点Oから円に2つの接線を引き、接点をA, Bとする。円周上の点Pから直線OA, OB, ABに引いた垂線の足をそれぞれQ, R, Sとする。このとき、$\triangle PAS \sim \triangle PBR$であることを証明する。

2. 解き方の手順

$\triangle PAS$と$\triangle PBR$において、

(1) $\angle ASP = \angle BRP = 90^\circ$ (仮定よりPSはABに垂直、PRはOBに垂直)

(2) 四角形$ASPR$において、$\angle PAS + \angle PRS = 180^\circ$

同様に四角形$BRPS$において、$\angle PBR + \angle PSR = 180^\circ$

したがって、$\angle PAS + \angle PRS = \angle PBR + \angle PSR$

(3) 四角形$PSBA$は円に内接するので、$\angle PSB + \angle PAB = 180^\circ$

よって、$\angle PSB = 180^\circ - \angle PAB$

また、$\angle PAS + \angle PAB = 180^\circ$なので、$\angle PAB = 180^\circ - \angle PAS$

したがって、$\angle PSB = 180^\circ - (180^\circ - \angle PAS) = \angle PAS$

(4) 円周角の定理より、$\angle PSR = \angle SAB = \angle BAS$

したがって、$\angle PSR = \angle BAS$

(5) $\angle BPR = 180^\circ - \angle PRS = \angle PBR + \angle PSB$であるから、

$\angle BPR = 180^\circ - \angle PRS = \angle PRS + \angle PAS - \angle PRS = \angle PAS$

(6) (1)より、$\angle ASP = \angle BRP = 90^\circ$

円周角の定理より、$\angle SAB = \angle SPR = \angle BAS$なので、$\angle SAB = \angle SAB$

したがって、$\angle PAS = \angle PBR$

2組の角がそれぞれ等しいので、$\triangle PAS \sim \triangle PBR$

3. 最終的な答え

$\triangle PAS \sim \triangle PBR$（証明終わり）