$xy$平面上に2定点$A(-4, 0)$、$B(0, 3)$があり、円$x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0$上に動点$P$がある。以下の問いに答えよ。 (1) $A$、$B$を通る直線の方程式を求めよ。 (2) 円の中心の座標と半径を求めよ。 (3) 三角形$ABP$の面積の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$平面上に2定点$A(-4, 0)$、$B(0, 3)$があり、円$x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0$上に動点$P$がある。以下の問いに答えよ。

(1) $A$、$B$を通る直線の方程式を求めよ。

(2) 円の中心の座標と半径を求めよ。

(3) 三角形$ABP$の面積の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $A(-4, 0)$、$B(0, 3)$を通る直線の方程式を求める。

傾きは$\frac{3 - 0}{0 - (-4)} = \frac{3}{4}$である。

$B(0, 3)$を通るので、直線の方程式は

$y = \frac{3}{4}x + 3$

両辺に4を掛けて

$4y = 3x + 12$

$3x - 4y + 12 = 0$

(2) 円の方程式$x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0$を平方完成する。

$(x^2 - 4x) + (y^2 - 2y) + 4 = 0$

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) + 4 - 4 - 1 = 0$

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1$

よって、円の中心の座標は$(2, 1)$、半径は$1$である。

(3) 直線$AB$の方程式は$3x - 4y + 12 = 0$である。

点$P(x, y)$と直線$AB$の距離$d$は

$d = \frac{|3x - 4y + 12|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3x - 4y + 12|}{5}$

三角形$ABP$の面積$S$は、$AB$を底辺とすると、高さは$d$となるので

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot d = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(0 - (-4))^2 + (3 - 0)^2} \cdot \frac{|3x - 4y + 12|}{5} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{16 + 9} \cdot \frac{|3x - 4y + 12|}{5} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{|3x - 4y + 12|}{5} = \frac{|3x - 4y + 12|}{2}$

ここで、$P(x, y)$は円$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1$上の点なので、$x = 2 + \cos\theta$、$y = 1 + \sin\theta$とおける。

$3x - 4y + 12 = 3(2 + \cos\theta) - 4(1 + \sin\theta) + 12 = 6 + 3\cos\theta - 4 - 4\sin\theta + 12 = 14 + 3\cos\theta - 4\sin\theta$

$3\cos\theta - 4\sin\theta = 5\cos(\theta + \alpha)$（ただし、$\cos\alpha = \frac{3}{5}$、$\sin\alpha = \frac{4}{5}$）

よって、$3x - 4y + 12 = 14 + 5\cos(\theta + \alpha)$

$-1 \leq \cos(\theta + \alpha) \leq 1$より、 $9 \leq 14 + 5\cos(\theta + \alpha) \leq 19$

$|3x - 4y + 12|$の最大値は$19$となる。

$S$の最大値は$\frac{19}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $3x - 4y + 12 = 0$

(2) 中心$(2, 1)$、半径$1$

(3) $\frac{19}{2}$