三角形OABにおいて、$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$、$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$とする。点Oから辺ABに下ろした垂線の足をP、点Aから辺OBに下ろした垂線の足をQとし、OPとAQの交点をHとする。AP:PB = 5:3, OQ:QB = 5:2のとき、以下の問いに答える。 (1) $\overrightarrow{OH}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表せ。 (2) $\cos \angle AOB$ を求めよ。 (3) $\angle OAB$ を求めよ。 (4) $OB = \sqrt{7}$とする。点Bから辺OAに下ろした垂線の足をRとするとき、線分BRの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$、$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$とする。点Oから辺ABに下ろした垂線の足をP、点Aから辺OBに下ろした垂線の足をQとし、OPとAQの交点をHとする。AP:PB = 5:3, OQ:QB = 5:2のとき、以下の問いに答える。

(1) $\overrightarrow{OH}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表せ。

(2) $\cos \angle AOB$ を求めよ。

(3) $\angle OAB$ を求めよ。

(4) $OB = \sqrt{7}$とする。点Bから辺OAに下ろした垂線の足をRとするとき、線分BRの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{OP}$を求める。Pは線分ABを5:3に内分するので、

$\overrightarrow{OP} = \frac{3\vec{a}+5\vec{b}}{8}$

$\overrightarrow{OH} = k \overrightarrow{OP}$ とおくと、$\overrightarrow{OH} = k \frac{3\vec{a}+5\vec{b}}{8} = \frac{3k}{8} \vec{a} + \frac{5k}{8} \vec{b}$

Hは線分AQ上にあるので、$\overrightarrow{OH} = s\overrightarrow{OA} + (1-s) \overrightarrow{OQ}$ と表せる。

$\overrightarrow{OQ} = \frac{5}{7} \vec{b}$ であるから、

$\overrightarrow{OH} = s\vec{a} + (1-s)\frac{5}{7}\vec{b} = s\vec{a} + \frac{5(1-s)}{7}\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、係数を比較して、

$\frac{3k}{8} = s$

$\frac{5k}{8} = \frac{5(1-s)}{7}$

2番目の式から、$k = \frac{8(1-s)}{7}$。これを1番目の式に代入すると、

$\frac{3}{8} \cdot \frac{8(1-s)}{7} = s$

$\frac{3-3s}{7} = s$

$3 - 3s = 7s$

$10s = 3$

$s = \frac{3}{10}$

$k = \frac{8(1 - \frac{3}{10})}{7} = \frac{8 \cdot \frac{7}{10}}{7} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

よって、$\overrightarrow{OH} = \frac{4}{5} \overrightarrow{OP} = \frac{4}{5} (\frac{3\vec{a}+5\vec{b}}{8}) = \frac{3\vec{a}+5\vec{b}}{10} = \frac{3}{10}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

(2) $\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{QB}$ より、$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{QB} = 0$

$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$

$\overrightarrow{QB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OQ} = \vec{b} - \frac{5}{7} \vec{b} = \frac{2}{7} \vec{b}$

$\vec{a} \cdot (\frac{2}{7} \vec{b}) = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$\overrightarrow{OB} \perp \overrightarrow{AP}$ より、$\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{AP} = 0$

$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = \frac{3\vec{a}+5\vec{b}}{8} - \vec{a} = \frac{-5\vec{a}+5\vec{b}}{8}$

$\vec{b} \cdot (\frac{-5\vec{a}+5\vec{b}}{8}) = 0$

$-5 \vec{a} \cdot \vec{b} + 5 |\vec{b}|^2 = 0$

$|\vec{b}|^2 = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ より $\cos \angle AOB = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{0}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = 0$

(3) $\cos \angle AOB = 0$ より、$\angle AOB = 90^\circ$

$|\vec{b}| = \sqrt{7}$

$\angle OAB = \theta$ とすると、

$\cos \theta = \frac{|\vec{a}|}{\sqrt{|\vec{a}|^2 + 7}}$

$\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{AP} = 0$

$\vec{b} \cdot(\overrightarrow{OP} - \vec{a}) = 0$

$\vec{b} \cdot (\frac{3\vec{a}+5\vec{b}}{8} - \vec{a}) = 0$

$\frac{3}{8} \vec{b} \cdot \vec{a} + \frac{5}{8} |\vec{b}|^2 - \vec{b} \cdot \vec{a} = 0$

$5|\vec{b}|^2 - 5 \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$\angle AOB = 90^\circ$ なので、$\angle OAB + \angle OBA = 90^\circ$

$\angle OAB$ は特定できない。

(4) Rは辺OA上の点なので、$\overrightarrow{OR} = k \overrightarrow{OA} = k \vec{a}$ と表せる。

BRはOAに垂直なので、$\overrightarrow{BR} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$

$\overrightarrow{BR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OB} = k\vec{a} - \vec{b}$

$(k\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$

$k |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ なので、$k |\vec{a}|^2 = 0$

$k = 0$

これはありえない。

別解：

$\triangle OAB$は直角三角形なので、OAとOBが垂直。点Bから辺OAに垂線を下ろすと、RはOと一致する。

したがって、BRはOBと一致する。

$BR = OB = \sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OH} = \frac{3}{10}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

(2) $\cos \angle AOB = 0$

(3) $\angle OAB$ は特定できない。

(4) $BR = \sqrt{7}$