$\triangle ABC$において、$\angle C = 90^\circ$, $AB:AC=5:4$とする。辺$BC$の点$C$側の延長上に、$CA=CD$となる点$D$をとる。辺$AB$の中点を$E$とし、点$B$から直線$AD$に下ろした垂線を$BF$とするとき、面積比$\triangle ABC : \triangle CEF$を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、$\angle C = 90^\circ$, $AB:AC=5:4$とする。辺$BC$の点$C$側の延長上に、$CA=CD$となる点$D$をとる。辺$AB$の中点を$E$とし、点$B$から直線$AD$に下ろした垂線を$BF$とするとき、面積比$\triangle ABC : \triangle CEF$を求めよ。

2. 解き方の手順

$AB = 5k$, $AC = 4k$とする。

$\triangle ABC$は直角三角形なので、$BC^2 = AB^2 - AC^2 = (5k)^2 - (4k)^2 = 25k^2 - 16k^2 = 9k^2$。

よって、$BC = 3k$。

また、$CD = CA = 4k$。従って、$BD = BC + CD = 3k + 4k = 7k$。

$E$は$AB$の中点なので、$AE = EB = \frac{5k}{2}$。

$\triangle ADC$について、$CA=CD$なので、$\triangle ADC$は二等辺三角形である。

$\angle CAD = \angle CDA = \theta$とおく。

$\angle ACD = 180^\circ - 2\theta$。

$\angle ACB = 90^\circ$なので、$\angle BCD = 180^\circ$。

$\angle ACD + \angle ACB = 180^\circ$なので、$\angle ACD = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$。

したがって、$180^\circ - 2\theta = 90^\circ$。

$2\theta = 90^\circ$

$\theta = 45^\circ$。

$BF \perp AD$より、$\triangle ABF$を考える。

$\angle BFA = 90^\circ$。

$\triangle ABC$と$\triangle CEF$の面積比を求めたい。

$AB = 5k, AC = 4k, BC = 3k, CD = 4k$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4k \cdot 3k = 6k^2$

$E$は$AB$の中点である。

$\triangle CEB$の面積を求める。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4k \cdot 3k = 6k^2$

$\triangle CEB = \frac{1}{2} \triangle ABC$というわけではない。

$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$

$\angle CAD = 45^\circ$

$\triangle ABC \sim \triangle FBD$ではない。

$\triangle ABF$が直角三角形なので、$\angle BAF + \angle ABF = 90^\circ$

$\angle ABF = 90^\circ - \angle BAF$

$\angle BAF = \angle BAD$

3. 最終的な答え

答え：50 : 9