方程式 $x^2 + y^2 - 2kx + 4ky + 4k^2 + k - 5 = 0$ が $k$ の値に関わらず円を表すことを示す問題です。

1. 問題の内容

方程式 $x^2 + y^2 - 2kx + 4ky + 4k^2 + k - 5 = 0$ が $k$ の値に関わらず円を表すことを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を円の方程式の標準形である $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ の形に変形します。ここで、$(a, b)$ は円の中心の座標であり、$r$ は円の半径です。

方程式 $x^2 + y^2 - 2kx + 4ky + 4k^2 + k - 5 = 0$ を変形していきます。

$x$ の項と $y$ の項をそれぞれ平方完成します。

$(x^2 - 2kx) + (y^2 + 4ky) + 4k^2 + k - 5 = 0$

$(x - k)^2 - k^2 + (y + 2k)^2 - 4k^2 + 4k^2 + k - 5 = 0$

$(x - k)^2 + (y + 2k)^2 = k^2 - k + 5$

ここで、この方程式が円を表すためには、右辺の $k^2 - k + 5$ が常に正である必要があります。

$r^2 = k^2 - k + 5$　なので、$k^2 - k + 5 > 0$ である必要があります。

$k^2 - k + 5$ を平方完成して最小値を求めます。

$k^2 - k + 5 = (k - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 5 = (k - \frac{1}{2})^2 + \frac{19}{4}$

$(k - \frac{1}{2})^2$ は常に0以上なので、 $k^2 - k + 5$ の最小値は $\frac{19}{4}$ となり、これは常に正です。

したがって、$k$ の値に関わらず、$r^2 > 0$ となるため、与えられた方程式は円を表します。

3. 最終的な答え

与えられた方程式は、$k$ の値に関わらず円を表す。