円Oの接線ATがあり、$\angle DAT = 41^\circ$である。このとき、$\angle x$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

円Oの接線ATがあり、$\angle DAT = 41^\circ$である。このとき、$\angle x$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

* 接弦定理より、$\angle DAT = \angle DCA = 41^\circ$

* $\angle DOA$は$\angle DCA$の中心角なので、$\angle DOA = 2 \times \angle DCA$

$\angle DOA = 2 \times 41^\circ$

$\angle DOA = 82^\circ$

* $\triangle OAC$は$OA = OC$の二等辺三角形なので、$\angle OAC = \angle OCA$

* $\angle AOC = 180^\circ - \angle DOA = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$

* $\angle OCA = \frac{180^\circ - \angle AOC}{2} = \frac{180^\circ - 98^\circ}{2}$

$\angle OCA = \frac{82^\circ}{2} = 41^\circ$

* $\angle x = \angle OCA - \angle DCA$

$\angle x = 41^\circ - 41^\circ = 0^\circ$

問題に間違いがあるようです。

直線DBが円の中心Oを通っているので、DBは円の直径である。接弦定理より、$\angle DAT = \angle DBA = 41^\circ$。

$\angle DAB = 90^\circ$より、$\angle OAB = 90^\circ - 41^\circ = 49^\circ$。

$\triangle OAB$は$OA=OB$の二等辺三角形なので、$\angle OBA = \angle OAB = 49^\circ$。

$\angle AOB = 180^\circ - 49^\circ - 49^\circ = 82^\circ$。

中心角$\angle AOB$に対する円周角は$\angle ACB$なので、$\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} \times 82^\circ = 41^\circ$。

したがって、$x=41^\circ$。

3. 最終的な答え

41°