三角形OABにおいて、辺OAを1:2に内分する点をM、辺OBを3:2に内分する点をNとする。線分ANと線分BMの交点をP、直線OPと辺ABの交点をQとする。ベクトルOA=a、ベクトルOB=bとするとき、ベクトルOPとベクトルOQをa、bを用いて表せ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを1:2に内分する点をM、辺OBを3:2に内分する点をNとする。線分ANと線分BMの交点をP、直線OPと辺ABの交点をQとする。ベクトルOA=a、ベクトルOB=bとするとき、ベクトルOPとベクトルOQをa、bを用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) ベクトルOPを求める。

点Pは線分AN上にあるので、実数sを用いて、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{ON} = (1-s)\vec{a} + s\frac{3}{5}\vec{b}$

と表せる。

点Pは線分BM上にあるので、実数tを用いて、

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OM} = (1-t)\vec{b} + t\frac{1}{3}\vec{a}$

と表せる。

したがって、

$(1-s)\vec{a} + \frac{3}{5}s\vec{b} = \frac{1}{3}t\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

ベクトルaとベクトルbは一次独立なので、係数を比較して、

$1-s = \frac{1}{3}t$

$\frac{3}{5}s = 1-t$

この連立方程式を解くと、s = 5/8, t = 9/8

よって、

$\vec{OP} = (1 - \frac{5}{8})\vec{a} + \frac{5}{8}\cdot\frac{3}{5}\vec{b} = \frac{3}{8}\vec{a} + \frac{3}{8}\vec{b}$

(2) ベクトルOQを求める。

点Qは直線OP上にあるので、実数kを用いて、

$\vec{OQ} = k\vec{OP} = k(\frac{3}{8}\vec{a} + \frac{3}{8}\vec{b}) = \frac{3k}{8}\vec{a} + \frac{3k}{8}\vec{b}$

と表せる。

点Qは辺AB上にあるので、実数uを用いて、

$\vec{OQ} = (1-u)\vec{OA} + u\vec{OB} = (1-u)\vec{a} + u\vec{b}$

と表せる。

したがって、

$\frac{3k}{8}\vec{a} + \frac{3k}{8}\vec{b} = (1-u)\vec{a} + u\vec{b}$

ベクトルaとベクトルbは一次独立なので、係数を比較して、

$\frac{3k}{8} = 1-u$

$\frac{3k}{8} = u$

この連立方程式を解くと、$\frac{3k}{8} = \frac{1}{2}$ より $k = \frac{4}{3}$

よって、

$\vec{OQ} = \frac{4}{3}\vec{OP} = \frac{4}{3}(\frac{3}{8}\vec{a} + \frac{3}{8}\vec{b}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{3}{8}\vec{a} + \frac{3}{8}\vec{b}$

$\vec{OQ} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$