以下の4つの問題を解きます。 (1) 点 (2, 4) を通り、直線 2x + 3y - 6 = 0 に平行な直線と垂直な直線の方程式を求める。 (2) 方程式 x² + y² + 4x - 6y + 4 = 0 で示される円の中心と半径を求める。 (3) (1, 1)、(2, -1)、(3, 2) を通る円の方程式を求める。 (4) α が鋭角で、tan α = 2 のとき、cos α および sin α の値を求める。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の4つの問題を解きます。

(1) 点 (2, 4) を通り、直線 2x + 3y - 6 = 0 に平行な直線と垂直な直線の方程式を求める。

(2) 方程式 x² + y² + 4x - 6y + 4 = 0 で示される円の中心と半径を求める。

(3) (1, 1)、(2, -1)、(3, 2) を通る円の方程式を求める。

(4) α が鋭角で、tan α = 2 のとき、cos α および sin α の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 (2, 4) を通り、直線 2x + 3y - 6 = 0 に平行な直線と垂直な直線の方程式を求める。

まず、与えられた直線の式 2x + 3y - 6 = 0 を y = mx + n の形に変形します。

$3y = -2x + 6$

$y = -\frac{2}{3}x + 2$

平行な直線の傾きは同じなので、$m = -\frac{2}{3}$ です。

点 (2, 4) を通る直線の式は、$y - 4 = -\frac{2}{3}(x - 2)$ となります。

整理すると、$y = -\frac{2}{3}x + \frac{4}{3} + 4$

$y = -\frac{2}{3}x + \frac{16}{3}$

つまり、$2x + 3y - 16 = 0$

垂直な直線の傾きは、$m' = \frac{3}{2}$ です。（$m \cdot m' = -1$）

点 (2, 4) を通る直線の式は、$y - 4 = \frac{3}{2}(x - 2)$ となります。

整理すると、$y = \frac{3}{2}x - 3 + 4$

$y = \frac{3}{2}x + 1$

つまり、$3x - 2y + 2 = 0$

(2) 方程式 x² + y² + 4x - 6y + 4 = 0 で示される円の中心と半径を求める。

与えられた方程式を平方完成します。

$(x^2 + 4x) + (y^2 - 6y) + 4 = 0$

$(x^2 + 4x + 4) - 4 + (y^2 - 6y + 9) - 9 + 4 = 0$

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 9$

これは、中心が (-2, 3) で半径が 3 の円の方程式です。

(3) (1, 1)、(2, -1)、(3, 2) を通る円の方程式を求める。

円の方程式を $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ とします。

3つの点 (1, 1)、(2, -1)、(3, 2) を代入して、A, B, C に関する連立方程式を作ります。

$1 + 1 + A + B + C = 0$ -> $A + B + C = -2$ (1)

$4 + 1 + 2A - B + C = 0$ -> $2A - B + C = -5$ (2)

$9 + 4 + 3A + 2B + C = 0$ -> $3A + 2B + C = -13$ (3)

(2) - (1) より、$A - 2B = -3$ (4)

(3) - (1) より、$2A + B = -11$ (5)

(5) x 2 + (4) より、$5A = -25$

$A = -5$

(5)に代入して、$2(-5) + B = -11$

$B = -1$

(1)に代入して、$-5 - 1 + C = -2$

$C = 4$

したがって、求める円の方程式は、$x^2 + y^2 - 5x - y + 4 = 0$

(4) α が鋭角で、tan α = 2 のとき、cos α および sin α の値を求める。

tan α = 2 より、直角三角形を考えると、底辺を 1、高さを 2 とすることができます。

斜辺の長さは $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ となります。

したがって、$cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) 平行な直線: 2x + 3y - 16 = 0、垂直な直線: 3x - 2y + 2 = 0

(2) 中心: (-2, 3)、半径: 3

(3) x² + y² - 5x - y + 4 = 0

(4) cos α = $\frac{\sqrt{5}}{5}$、sin α = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$