$xyz$空間において、4点 $O(0,0,0)$, $A(-1,1,a)$, $B(-2,-1,\sqrt{2})$, $C(4,5,-\sqrt{2})$が同一平面上にあるような $a$ の値を求め、さらにベクトル $\overrightarrow{OA}$ が $x$ 軸の正の向きとなす角 $\theta$ ($\theta \in [0, \pi]$) を求める問題です。

1. 問題の内容

$xyz$空間において、4点 $O(0,0,0)$, $A(-1,1,a)$, $B(-2,-1,\sqrt{2})$, $C(4,5,-\sqrt{2})$が同一平面上にあるような $a$ の値を求め、さらにベクトル $\overrightarrow{OA}$ が $x$ 軸の正の向きとなす角 $\theta$ ($\theta \in [0, \pi]$) を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 4点が同一平面上にある条件：

4点 $O$, $A$, $B$, $C$ が同一平面上にあるとき、ベクトル $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ は線形従属、つまり $\overrightarrow{OA} = s\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OC}$となる実数 $s, t$ が存在します。もしくは、これらのベクトルによって作られる行列の行列式が0になるという条件を使います。ここでは、行列式を使う方法で進めます。

ベクトルは以下の通りです。

$\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ a \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -\sqrt{2} \end{pmatrix}$

行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix}

-1 & -2 & 4 \\

1 & -1 & 5 \\

a & \sqrt{2} & -\sqrt{2}

\end{vmatrix} = 0

$$

行列式を計算すると、

$-1((-1)(-\sqrt{2}) - 5\sqrt{2}) - (-2)((1)(-\sqrt{2}) - 5a) + 4((1)\sqrt{2} - (-1)a) = 0$

$-1(\sqrt{2}-5\sqrt{2}) + 2(-\sqrt{2}-5a) + 4(\sqrt{2}+a) = 0$

$4\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 10a + 4\sqrt{2} + 4a = 0$

$6\sqrt{2} - 6a = 0$

$6a = 6\sqrt{2}$

$a = \sqrt{2}$

(2) ベクトル $\overrightarrow{OA}$ と $x$ 軸の正の向きのなす角 $\theta$ の計算

$\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}$

$x$ 軸の正の向きを表すベクトルを $\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ とします。

内積を計算します。

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{x} = (-1)(1) + (1)(0) + (\sqrt{2})(0) = -1$

$\overrightarrow{OA}$ の大きさを計算します。

$|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2$

$\overrightarrow{x}$ の大きさは1です。

$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{x}}{|\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{x}|} = \frac{-1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$

$\theta \in [0, \pi]$ なので、$\theta = \frac{2\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$a = \sqrt{2}$

$\theta = \frac{2\pi}{3}$