2点O(0, 0), A(1, 0) と円 $x^2 + y^2 = 9$ 上を動く点Qとでできる三角形OAQの重心Pの軌跡を求めよ。

はい、承知いたしました。問題389を解きます。

1. 問題の内容

2点O(0, 0), A(1, 0) と円 $x^2 + y^2 = 9$ 上を動く点Qとでできる三角形OAQの重心Pの軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

点Qの座標を$(x_Q, y_Q)$とし、重心Pの座標を$(x_P, y_P)$とします。重心の定義より、

$$x_P = \frac{0 + 1 + x_Q}{3}$$

$$y_P = \frac{0 + 0 + y_Q}{3}$$

これらの式から、$x_Q$と$y_Q$を$x_P$と$y_P$で表すと、

$$x_Q = 3x_P - 1$$

$$y_Q = 3y_P$$

点Qは円 $x^2 + y^2 = 9$ 上の点であるから、これらの式を円の方程式に代入すると、

$$(3x_P - 1)^2 + (3y_P)^2 = 9$$

展開して整理すると、

$$9x_P^2 - 6x_P + 1 + 9y_P^2 = 9$$

$$9x_P^2 - 6x_P + 9y_P^2 = 8$$

両辺を9で割ると、

$$x_P^2 - \frac{2}{3}x_P + y_P^2 = \frac{8}{9}$$

平方完成すると、

$$(x_P - \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9} + y_P^2 = \frac{8}{9}$$

$$(x_P - \frac{1}{3})^2 + y_P^2 = \frac{9}{9}$$

$$(x_P - \frac{1}{3})^2 + y_P^2 = 1$$

したがって、重心Pの軌跡は、中心$(\frac{1}{3}, 0)$、半径1の円となります。

3. 最終的な答え

重心Pの軌跡は、$(x - \frac{1}{3})^2 + y^2 = 1$

つまり、中心$(\frac{1}{3}, 0)$、半径1の円である。