2点 $A(-6, 0)$、$B(2, 0)$ と点 $P$ を頂点とする $\triangle ABP$ が $PA: PB = 3:1$ を満たしながら変化するとき、点 $P$ の軌跡を求める問題です。与えられた解答には誤りがあり、その理由を述べ、正しい解答を導く必要があります。

1. 問題の内容

2点 $A(-6, 0)$、$B(2, 0)$ と点 $P$ を頂点とする $\triangle ABP$ が $PA: PB = 3:1$ を満たしながら変化するとき、点 $P$ の軌跡を求める問題です。与えられた解答には誤りがあり、その理由を述べ、正しい解答を導く必要があります。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた解答の誤りの理由を説明します。

与えられた解答では、

$9(x-2)^2 + 9y^2 = (x+6)^2 + y^2$

を整理した結果、

$x^2 - 6x + y^2 = 0$

という式が得られています。しかし、これは誤りです。正しい整理を行うと、以下のようになります。

$9(x^2 - 4x + 4 + y^2) = x^2 + 12x + 36 + y^2$

$9x^2 - 36x + 36 + 9y^2 = x^2 + 12x + 36 + y^2$

$8x^2 - 48x + 8y^2 = 0$

$x^2 - 6x + y^2 = 0$

この式は正しいです。しかし、この式から $(x-3)^2 + y^2 = 9$ を導くことは正しいですが、ここから、この円上の全ての点 $P(x, y)$ が条件 $PA: PB=3:1$ を満たすとは限りません。なぜなら、$PA:PB=3:1$ と $PA:PB=-3:1$ の両方の条件を満たす点が現れるからです。

(2) 下線部を正しい解答に直します。

まず、$PA: PB = 3:1$ より、$PA = 3PB$

よって、$PA^2 = 9PB^2$

$PA^2 = (x+6)^2 + y^2$

$PB^2 = (x-2)^2 + y^2$

したがって、

$(x+6)^2 + y^2 = 9((x-2)^2 + y^2)$

$x^2 + 12x + 36 + y^2 = 9(x^2 - 4x + 4 + y^2)$

$x^2 + 12x + 36 + y^2 = 9x^2 - 36x + 36 + 9y^2$

$8x^2 - 48x + 8y^2 = 0$

$x^2 - 6x + y^2 = 0$

$(x-3)^2 - 9 + y^2 = 0$

$(x-3)^2 + y^2 = 9$

この円 $(x-3)^2 + y^2 = 9$ 上の点がすべて $PA : PB = 3 : 1$ を満たすわけではないので、円上の点 $P(x, y)$ は常に条件を満たすとは言えません。

よって、点 $P$ の軌跡は、点 $(3, 0)$ を中心とする半径 $3$ の円である。

3. 最終的な答え

(1) この解答は誤りである。その理由は、$PA:PB=3:1$ の条件から導かれる円 $(x-3)^2 + y^2 = 9$ 上の全ての点が、必ずしも元の条件 $PA:PB=3:1$ を満たすとは限らないため。

(2) 点 $P$ の軌跡は、点 $(3, 0)$ を中心とする半径 $3$ の円である。