## 数学の問題の解答

## 数学の問題の解答

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1. 問題の内容

問題は2つあります。

* 問題2: 直線 $l: y = 2x + 1$ と2点 $A(-1, 4)$, $B(2, 6)$ が与えられている。

* (1) 直線 $l$ に関して、点 $A$ と対称な点 $C$ の座標を求めよ。

* (2) 直線 $l$ 上に点 $P$ をとる。$AP + PB$ が最小値をとるとき、点 $P$ の座標を求めよ。

* 問題3: $xy$ 平面上の2つの集合 $A = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le r^2\}$ と $B = \{(x, y) | x^2 + y^2 - 6x + 4y + 10 \le 0\}$ が与えられている。$A \supset B$ となるような実数 $r$ の値の範囲を求めよ。

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2. 解き方の手順

#### 問題2(1): 点Aと対称な点Cの座標

1. 点 $C$ の座標を $(x, y)$ とおく。

2. 線分 $AC$ の中点 $M$ は直線 $l$ 上にあるので、その座標は $(\frac{x-1}{2}, \frac{y+4}{2})$ であり、$y = 2x + 1$ に代入すると、

$\frac{y+4}{2} = 2\frac{x-1}{2} + 1$

$y + 4 = 2x - 2 + 2$

$y = 2x - 4$

3. 直線 $AC$ は直線 $l$ と直交するので、傾きの積は $-1$ となる。直線 $l$ の傾きは $2$ なので、直線 $AC$ の傾きは $-\frac{1}{2}$ である。

$\frac{y-4}{x+1} = -\frac{1}{2}$

$2(y-4) = -(x+1)$

$2y - 8 = -x - 1$

$2y = -x + 7$

4. 2つの式から $x$ と $y$ を求める。

$y = 2x - 4$ と $2y = -x + 7$ より、

$2(2x-4) = -x + 7$

$4x - 8 = -x + 7$

$5x = 15$

$x = 3$

$y = 2(3) - 4 = 2$

5. よって、点 $C$ の座標は $(3, 2)$。

#### 問題2(2): AP + PB が最小値をとる点Pの座標

1. 点 $A(-1, 4)$ の直線 $l: y = 2x + 1$ に関する対称点を点 $C(3, 2)$ と求めた。

2. $AP = CP$ であるから、$AP + PB = CP + PB$ となる。$CP + PB$ が最小となるのは、点 $C, P, B$ が一直線上にあるときである。

3. 直線 $CB$ の方程式を求める。傾きは $\frac{6-2}{2-3} = -4$。よって、直線 $CB$ の方程式は $y - 6 = -4(x - 2)$。

$y = -4x + 8 + 6$

$y = -4x + 14$

4. 点 $P$ は直線 $l$ 上にあるので、$y = 2x + 1$ と $y = -4x + 14$ の交点を求める。

$2x + 1 = -4x + 14$

$6x = 13$

$x = \frac{13}{6}$

$y = 2(\frac{13}{6}) + 1 = \frac{13}{3} + 1 = \frac{16}{3}$

5. よって、点 $P$ の座標は $(\frac{13}{6}, \frac{16}{3})$。

#### 問題3: A⊃B となる r の値の範囲

1. 集合 $A$ は原点中心、半径 $r$ の円の内部（境界含む）。

2. 集合 $B$ の不等式を平方完成する。

$x^2 - 6x + y^2 + 4y + 10 \le 0$

$(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 + 10 \le 0$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 \le 3$

3. 集合 $B$ は中心 $(3, -2)$、半径 $\sqrt{3}$ の円の内部（境界含む）。

4. $A \supset B$ となるためには、集合 $B$ の円が集合 $A$ の円に含まれる必要がある。つまり、点 $(3, -2)$ が原点からの距離が $r$ 以下であり、集合$A$の半径 $r$ が、原点から集合 $B$ の中心までの距離 + 集合 $B$ の半径以上である必要がある。

5. 原点から $(3, -2)$ までの距離は $\sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{13}$。

6. したがって、$r \ge \sqrt{13} + \sqrt{3}$。

また、Bの中心はAの中に入っていなければならないので、$\sqrt{13} \le r$

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3. 最終的な答え

* 問題2(1): $(3, 2)$

* 問題2(2): $(\frac{13}{6}, \frac{16}{3})$

* 問題3: $r \ge \sqrt{13} + \sqrt{3}$