実数 $a$ に対して、座標平面上で点 $(3,1)$ を中心とする半径 $1$ の円 $C$ と、直線 $y=ax$ を $\ell$ とする。 (1) 円 $C$ の方程式を求める。 (2) 円 $C$ と直線 $\ell$ が接する時の $a$ の値を求め、接点を通る $\ell$ に垂直な直線の方程式を求める。 (3) 円 $C$ と直線 $\ell$ が異なる2点 $A, B$ で交わる時、線分 $AB$ の長さを求め、その長さが $2$ となる時の $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、座標平面上で点 $(3,1)$ を中心とする半径 $1$ の円 $C$ と、直線 $y=ax$ を $\ell$ とする。

(1) 円 $C$ の方程式を求める。

(2) 円 $C$ と直線 $\ell$ が接する時の $a$ の値を求め、接点を通る $\ell$ に垂直な直線の方程式を求める。

(3) 円 $C$ と直線 $\ell$ が異なる2点 $A, B$ で交わる時、線分 $AB$ の長さを求め、その長さが $2$ となる時の $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C$ の方程式は、中心 $(3,1)$ 、半径 $1$ なので、

$(x-3)^2 + (y-1)^2 = 1$

展開して整理すると、

$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 = 1$

$x^2 + y^2 - 6x - 2y + 9 = 0$

(2) 円 $C$ と直線 $\ell$ が接する条件は、円の中心 $(3,1)$ と直線 $ax - y = 0$ の距離が半径 $1$ に等しいことである。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|3a - 1|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 1$

$|3a - 1| = \sqrt{a^2 + 1}$

両辺を2乗して、

$(3a - 1)^2 = a^2 + 1$

$9a^2 - 6a + 1 = a^2 + 1$

$8a^2 - 6a = 0$

$2a(4a - 3) = 0$

$a = 0, \frac{3}{4}$

$a = 0$ のとき、直線 $\ell$ は $y=0$ となり、接点は $(3,0)$ である。この点を通る $y=0$ に垂直な直線は $x=3$ である。

$a = \frac{3}{4}$ のとき、直線 $\ell$ は $y = \frac{3}{4}x$ となる。

この直線と円 $C$ の接点は、中心 $(3,1)$ を通り傾き $-\frac{4}{3}$ の直線 $y - 1 = -\frac{4}{3}(x - 3)$ と $y = \frac{3}{4}x$ の交点である。

$y = -\frac{4}{3}x + 5$

$\frac{3}{4}x = -\frac{4}{3}x + 5$

$9x = -16x + 60$

$25x = 60$

$x = \frac{12}{5}$

$y = \frac{3}{4} \times \frac{12}{5} = \frac{9}{5}$

接点 $(\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$ を通り、傾き $-\frac{4}{3}$ の直線は、

$y - \frac{9}{5} = -\frac{4}{3}(x - \frac{12}{5})$

$y = -\frac{4}{3}x + \frac{48}{15} + \frac{27}{15}$

$y = -\frac{4}{3}x + \frac{75}{15}$

$y = -\frac{4}{3}x + 5$

$a=0$ のとき、接点 $(3,0)$ を通り $\ell$ に垂直な直線は $x=3$ すなわち $y = -\frac{1}{0} x + 3$ (定義できないが、この場合は $x=3$ となる)

$a = \frac{3}{4}$ のとき、接点 $(\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$ を通り $\ell$ に垂直な直線は $y = -\frac{4}{3} x + 5$ となる。

(3) 円の中心 $(3,1)$ と直線 $ax - y = 0$ の距離を $d$ とすると、$d = \frac{|3a-1|}{\sqrt{a^2+1}}$ である。線分 $AB$ の長さが $L$ であるとすると、

$L = 2\sqrt{r^2 - d^2}$ ($r$ は円の半径) であり、$r=1$ であるから、

$L = 2\sqrt{1 - \frac{(3a-1)^2}{a^2+1}} = 2\sqrt{\frac{a^2+1 - (9a^2 - 6a + 1)}{a^2+1}} = 2\sqrt{\frac{-8a^2 + 6a}{a^2+1}}$

$AB$ の長さが $2$ となるとき、$2 = 2\sqrt{\frac{-8a^2 + 6a}{a^2+1}}$ より、

$1 = \frac{-8a^2 + 6a}{a^2+1}$

$a^2+1 = -8a^2 + 6a$

$9a^2 - 6a + 1 = 0$

$(3a - 1)^2 = 0$

$a = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 円 $C$ の方程式は $x^2 + y^2 - 6x - 2y + 9 = 0$。ア：6, イ：2, ウ：9

(2) 円 $C$ と直線 $\ell$ が接するのは $a = 0, \frac{3}{4}$ のときである。エ：0, オ：3, カ：4

$a=0$のとき、接点を通る $\ell$ に垂直な直線の方程式は定義できない ($x=3$となる)。

$a = \frac{3}{4}$ のとき、接点を通る $\ell$ に垂直な直線の方程式は $y = -\frac{4}{3}x + 5$ である。キク：-4, ケ：3, コ：5

(3) 円 $C$ と直線 $\ell$ が異なる2点 $A, B$ で交わるとき、2つの交点を結ぶ線分 $AB$ の長さは $2\sqrt{\frac{-8a^2 + 6a}{a^2+1}}$ である。サ：2, シ：-8, ス：6

$AB$ の長さが $2$ となるのは $a = \frac{1}{3}$ のときである。セ：1, ソ：3