与えられた正三角錐ABCDの体積を求める問題です。側面は二等辺三角形、底面は一辺の長さが12cmの正三角形であり、$AB = 8$cmです。

1. 問題の内容

与えられた正三角錐ABCDの体積を求める問題です。側面は二等辺三角形、底面は一辺の長さが12cmの正三角形であり、$AB = 8$cmです。

2. 解き方の手順

まず、底面積を求めます。底面は一辺の長さが12cmの正三角形なので、面積$S$は

$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 144 = 36\sqrt{3}$ cm$^2$

次に、高さを求めます。頂点Aから底面BCDに下ろした垂線の足をHとします。

Hは正三角形BCDの中心に位置します。正三角形BCDの中心から頂点Bまでの距離は、$12 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ cm となります。

三角形ABHは直角三角形であり、$AB = 8$cm、$BH = 4\sqrt{3}$cmなので、ピタゴラスの定理より、

$AH^2 = AB^2 - BH^2 = 8^2 - (4\sqrt{3})^2 = 64 - 16 \times 3 = 64 - 48 = 16$

よって、$AH = \sqrt{16} = 4$cm

したがって、正三角錐の体積$V$は、

$V = \frac{1}{3} \times S \times AH = \frac{1}{3} \times 36\sqrt{3} \times 4 = 12\sqrt{3} \times 4 = 48\sqrt{3}$ cm$^3$

3. 最終的な答え

$48\sqrt{3}$ cm$^3$