円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 2x + m$ について、以下の問いに答えます。 (1) 円と直線が共有点を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めます。 (2) 円と直線が接するとき、定数 $m$ の値と接点の座標を求めます。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 2x + m$ について、以下の問いに答えます。

(1) 円と直線が共有点を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

(2) 円と直線が接するとき、定数 $m$ の値と接点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 2x + m$ の式を連立させ、 $y$ を消去します。

$x^2 + (2x + m)^2 = 5$

$x^2 + 4x^2 + 4mx + m^2 = 5$

$5x^2 + 4mx + (m^2 - 5) = 0$

この2次方程式が実数解を持つ条件は、判別式 $D$ が $D \geq 0$ であることです。

$D = (4m)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (m^2 - 5)$

$D = 16m^2 - 20(m^2 - 5)$

$D = 16m^2 - 20m^2 + 100$

$D = -4m^2 + 100$

$D \geq 0$ より、

$-4m^2 + 100 \geq 0$

$4m^2 \leq 100$

$m^2 \leq 25$

$-5 \leq m \leq 5$

(2) 円と直線が接するとき、判別式 $D = 0$ となります。

$-4m^2 + 100 = 0$

$4m^2 = 100$

$m^2 = 25$

$m = \pm 5$

$m = 5$ のとき、 $5x^2 + 4(5)x + (5^2 - 5) = 0$

$5x^2 + 20x + 20 = 0$

$x^2 + 4x + 4 = 0$

$(x + 2)^2 = 0$

$x = -2$

$y = 2(-2) + 5 = 1$

接点の座標は $(-2, 1)$

$m = -5$ のとき、 $5x^2 + 4(-5)x + ((-5)^2 - 5) = 0$

$5x^2 - 20x + 20 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

$y = 2(2) - 5 = -1$

接点の座標は $(2, -1)$

3. 最終的な答え

(1) $-5 \leq m \leq 5$

(2) $m = 5$ のとき接点の座標は $(-2, 1)$、 $m = -5$ のとき接点の座標は $(2, -1)$