次の円や直線の方程式を、ベクトルを利用して求めよ。 (1) 中心O(0, 0), 半径2の円 (2) 中心C(3, 2), 半径$\sqrt{5}$の円 (3) 2点A(1, 4), B(3, 0)を直径の両端とする円 (4) 中心C(1, 1), 半径$\sqrt{2}$の円に、点O(0, 0)で接する直線

1. 問題の内容

次の円や直線の方程式を、ベクトルを利用して求めよ。

(1) 中心O(0, 0), 半径2の円

(2) 中心C(3, 2), 半径$\sqrt{5}$の円

(3) 2点A(1, 4), B(3, 0)を直径の両端とする円

(4) 中心C(1, 1), 半径$\sqrt{2}$の円に、点O(0, 0)で接する直線

2. 解き方の手順

(1) 中心O(0, 0), 半径2の円

点P(x, y)が円周上にあるとき、$|\overrightarrow{OP}| = 2$である。

$|\overrightarrow{OP}|^2 = \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OP} = x^2 + y^2 = 4$

(2) 中心C(3, 2), 半径$\sqrt{5}$の円

点P(x, y)が円周上にあるとき、$|\overrightarrow{CP}| = \sqrt{5}$である。

$\overrightarrow{CP} = (x-3, y-2)$なので、$|\overrightarrow{CP}|^2 = (x-3)^2 + (y-2)^2 = 5$

(3) 2点A(1, 4), B(3, 0)を直径の両端とする円

点P(x, y)が円周上にあるとき、$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 0$である。

$\overrightarrow{AP} = (x-1, y-4)$

$\overrightarrow{BP} = (x-3, y-0)$

$(x-1)(x-3) + (y-4)y = 0$

$x^2 - 4x + 3 + y^2 - 4y = 0$

$x^2 - 4x + y^2 - 4y + 3 = 0$

(4) 中心C(1, 1), 半径$\sqrt{2}$の円に、点O(0, 0)で接する直線

点P(x, y)が直線上の点であるとき、$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OC} = |\overrightarrow{OC}|^2$

$\overrightarrow{OP} = (x, y)$

$\overrightarrow{OC} = (1, 1)$

$(x, y) \cdot (1, 1) = 1^2 + 1^2$

$x + y = 2$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 = 4$

(2) $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 5$

(3) $x^2 - 4x + y^2 - 4y + 3 = 0$

(4) $x + y = 2$