中心がO、半径が$r$の円Cがある。Cの外部の点Pから円Cを通る直線が、異なる2点A, Bで交わっている。また、Pから円Cに接線を引き、接点をTとする。ただしTは直線ABに関してOと同じ側にあるものとする。PA=1, AB=2, PO=3とし、直線POと円Cの2つの交点のうち、Pに近い方をC、もう一方をDとする。BD=xとおく。このとき、$r$, PT, AC, AD, xを求める問題。

はい、承知いたしました。問題文を丁寧に読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

中心がO、半径が$r$の円Cがある。Cの外部の点Pから円Cを通る直線が、異なる2点A, Bで交わっている。また、Pから円Cに接線を引き、接点をTとする。ただしTは直線ABに関してOと同じ側にあるものとする。PA=1, AB=2, PO=3とし、直線POと円Cの2つの交点のうち、Pに近い方をC、もう一方をDとする。BD=xとおく。このとき、$r$, PT, AC, AD, xを求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $r$と$PT$を求める。

* 方べきの定理より、$PA \cdot PB = PT^2$

$PA = 1$, $AB = 2$より、$PB = PA + AB = 1 + 2 = 3$

よって、$PT^2 = 1 \cdot 3 = 3$

$PT = \sqrt{3}$

* $r$を求める。

$PO = 3$, $PO = PC + CO = PC + r$。

$PC = PO - OC = 3 - r$。

方べきの定理より、$PA \cdot PB = (PO-r)(PO+r) = PT^2$。

$1 \cdot 3 = (3-r)(3+r) = 9-r^2$。

$r^2 = 9-3 = 6$。

$r = \sqrt{6}$

(2) $\triangle ACP$と相似な三角形を見つけ、$AC$を求める。

* $\triangle ACP \sim \triangle DBA$

$\angle CAP = \angle BDA$（弧CBに対する円周角）

$\angle CPA = \angle DPA$（共通）

よって、$\triangle ACP \sim \triangle DBA$

* 相似比より、$\frac{AC}{DB} = \frac{AP}{DA}$

$AC = \frac{AP}{DA} \cdot DB$

$\frac{AC}{AB} = \frac{AP}{DP}$ とも言える

$AP = 1, AB = 2, BD = x$なので, $AD = AB + BD = 2 + x$。

$\frac{AC}{2} = \frac{1}{2+x}$。

$AC = \frac{2}{2+x}$

別の方法で求めると、

$AC : DB = PC : PB$

$AC : x = (3-\sqrt{6}):3$

$AC = \frac{x(3-\sqrt{6})}{3}$

* $\triangle ACP \sim \triangle DBT$から、$AC$を求める。

$AC:DB = AP:DT$, $AC : x = 1:DT$, $AC = \frac{x}{DT}$

(3) $\triangle ADP$と相似な三角形を見つけ、$AD$を求める。

* $\triangle ADP \sim \triangle ABC$

(4) $\angle CAD = 90^\circ$であることから、$x$を求める。

3. 最終的な答え

* $r = \sqrt{6}$

* $PT = \sqrt{3}$

* $\triangle ACP \sim \triangle DBA$

* $AC = \frac{2}{2+x}$

最終的な答えは現在計算中です。