中心O、半径$r$の円Cがあり、Cの外部の点Pを通る直線が2点A, Bで交わっている。PからCに接線を引き、接点をTとする。ただし、Tは直線ABに関してOと同じ側にあるものとする。$PA=1$, $AB=2$, $PO=3$とし、直線POと円Cの2つの交点のうち、Pに近い方をC、もう一方をDとする。$BD=x$とおく。以下の問いに答える。 (1) $r$と$PT$を求める。 (2) $\triangle ACP$と相似な三角形を見つけ、$AC$を求める。 (3) $\triangle ADP$と相似な三角形を見つけ、$AD$を求める。 (4) $\angle CAD = 90^\circ$のとき、$x$を求める。

1. 問題の内容

中心O、半径$r$の円Cがあり、Cの外部の点Pを通る直線が2点A, Bで交わっている。PからCに接線を引き、接点をTとする。ただし、Tは直線ABに関してOと同じ側にあるものとする。$PA=1$, $AB=2$, $PO=3$とし、直線POと円Cの2つの交点のうち、Pに近い方をC、もう一方をDとする。$BD=x$とおく。以下の問いに答える。

(1) $r$と$PT$を求める。

(2) $\triangle ACP$と相似な三角形を見つけ、$AC$を求める。

(3) $\triangle ADP$と相似な三角形を見つけ、$AD$を求める。

(4) $\angle CAD = 90^\circ$のとき、$x$を求める。

2. 解き方の手順

(1) $PO = 3$であり、$PO$は$C$と$D$を通るので、$PO = PC + CO = PC + r$および、$PO = PD - DO = PD - r$が成り立つ。

また、$PC = PO - OC = 3 - r$、$PD = PO + OD = 3 + r$。

$PA \cdot PB = PT^2$より、$1 \cdot (1+2) = PT^2$なので、$PT = \sqrt{3}$。

方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$だから、$1 \cdot 3 = (3-r)(3+r)$。

$3 = 9 - r^2$より、$r^2 = 6$。したがって、$r = \sqrt{6}$。

(2) $\triangle ACP$と$\triangle DBP$において、$\angle P$は共通。また、円周角の定理より、$\angle CAP = \angle CDB = \angle BDA$。よって、$\triangle ACP \sim \triangle DBP$。

したがって、$AC:DB = AP:DP$。$DB = x$, $AP = 1$, $DP = 3 + \sqrt{6}$なので、$AC = \frac{x}{3 + \sqrt{6}} = \frac{3-\sqrt{6}}{3} x$。

(3) $\triangle ADP$と$\triangle ABC$において、$\angle A$は共通。また、円周角の定理より$\angle ADP = \angle ACB$なので、$\triangle ADP \sim \triangle ABC$。

$\triangle ABC$において、$AB = 2, PA = 1$より、$PB = 3$。

$AD = \sqrt{AP^2 + DP^2 - 2 \cdot AP \cdot DP \cdot \cos P}$

また、$AC = \frac{3-\sqrt{6}}{3} x$より、$BC = x+2$。

$\angle CAD = 90^\circ$より、$AC^2 + AD^2 = CD^2$。

$CD = 2r = 2\sqrt{6}$。

$\triangle ADP \sim \triangle CBP$より、$AD:CB = AP:CP$。よって、$AD = \frac{AP \cdot CB}{CP} = \frac{1 \cdot (x+2)}{3-\sqrt{6}} = \frac{3+\sqrt{6}}{3}(x+2)$。

$AC^2 + AD^2 = CD^2$より、$(\frac{3-\sqrt{6}}{3}x)^2 + (\frac{3+\sqrt{6}}{3}(x+2))^2 = (2\sqrt{6})^2 = 24$

$\frac{15-6\sqrt{6}}{9} x^2 + \frac{15+6\sqrt{6}}{9} (x^2+4x+4) = 24$

$(15-6\sqrt{6})x^2 + (15+6\sqrt{6})(x^2+4x+4) = 216$

$15x^2-6\sqrt{6}x^2 + 15x^2 + 60x + 60 + 6\sqrt{6}x^2 + 24\sqrt{6}x + 24\sqrt{6} = 216$

$30x^2 + 60x + 60 + 24\sqrt{6}x + 24\sqrt{6} = 216$

$30x^2 + (60+24\sqrt{6})x + (60+24\sqrt{6}-216) = 0$

$30x^2 + (60+24\sqrt{6})x - 156+24\sqrt{6}= 0$

$5x^2 + (10+4\sqrt{6})x - 26+4\sqrt{6}= 0$

$x = \frac{-(10+4\sqrt{6}) \pm \sqrt{(10+4\sqrt{6})^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-26+4\sqrt{6})}}{10}$

$x = \frac{-(10+4\sqrt{6}) \pm \sqrt{100+80\sqrt{6}+96 + 520 - 80\sqrt{6}}}{10}$

$x = \frac{-(10+4\sqrt{6}) \pm \sqrt{716}}{10} = \frac{-10-4\sqrt{6} \pm 2\sqrt{179}}{10} = \frac{-5-2\sqrt{6} \pm \sqrt{179}}{5}$

$\triangle ABC \sim \triangle ADP$より、$AD:AC = AB:AP = 2:1$, $AD = 2AC$

$AC^2 + AD^2 = CD^2$より、$AC^2 + (2AC)^2 = (2\sqrt{6})^2$

$5AC^2 = 24$, $AC = \sqrt{\frac{24}{5}} = 2\sqrt{\frac{6}{5}} = \frac{2\sqrt{30}}{5}$

$AC = \frac{3-\sqrt{6}}{3} x$, $x = \frac{3}{3-\sqrt{6}} AC = \frac{3(3+\sqrt{6})}{3} \cdot \frac{2\sqrt{30}}{15} = \frac{3+\sqrt{6}}{3} AC = \frac{(3+\sqrt{6}) \cdot 2\sqrt{30}}{5(3-\sqrt{6})}$

(4) $\angle CAD = 90^{\circ}$のとき、$AC^2 + AD^2 = CD^2 = (2r)^2 = 24$。

$x = \sqrt{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $r = \sqrt{6}$, $PT = \sqrt{3}$

(2) $\triangle ACP \sim \triangle DBP$であることから、$AC = \frac{3-\sqrt{6}}{3}x$

(3) $\triangle ADP \sim \triangle ABC$であることから、$AD = \frac{3+\sqrt{6}}{3} \sqrt{\frac{27}{10}-\frac{x^2}{4}}$

(4) $\angle CAD = 90^\circ$であることから、$x = \sqrt{2}$