$OA = 2\sqrt{2}$、$OB = \sqrt{3}$、$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 2$ である三角形OABの重心をHとするとき、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$として、$\overrightarrow{OH}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$を用いて表す。

1. 問題の内容

$OA = 2\sqrt{2}$、$OB = \sqrt{3}$、$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 2$ である三角形OABの重心をHとするとき、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$として、$\overrightarrow{OH}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

三角形OABの重心Hの位置ベクトル$\overrightarrow{OH}$は、$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$を用いて次のように表されます。

$\overrightarrow{OH} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OO}}{3}$

原点Oの位置ベクトル$\overrightarrow{OO}$は$\vec{0}$なので、

$\overrightarrow{OH} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{3}$

ここで、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$なので、

$\overrightarrow{OH} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{3}$

よって、

$\overrightarrow{OH} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OH} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$