円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 2x + m$ が共有点を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 2x + m$ が共有点を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

円と直線が共有点を持つ条件は、円の方程式と直線の方程式を連立させた方程式が実数解を持つことです。

まず、$y = 2x + m$ を $x^2 + y^2 = 5$ に代入します。

$x^2 + (2x + m)^2 = 5$

これを展開して整理します。

$x^2 + 4x^2 + 4mx + m^2 = 5$

$5x^2 + 4mx + m^2 - 5 = 0$

この2次方程式が実数解を持つためには、判別式 $D$ が $D \geq 0$ である必要があります。

判別式 $D$ は、

$D = (4m)^2 - 4(5)(m^2 - 5) = 16m^2 - 20m^2 + 100 = -4m^2 + 100$

$D \geq 0$ より、

$-4m^2 + 100 \geq 0$

$4m^2 \leq 100$

$m^2 \leq 25$

$-5 \leq m \leq 5$

3. 最終的な答え

$-5 \leq m \leq 5$