与えられた三角柱において、以下の2つの平面のなす角を求める問題です。 (1) 平面ADEBと平面BEFC (2) 平面ABCと平面ADFC

1. 問題の内容

与えられた三角柱において、以下の2つの平面のなす角を求める問題です。

(1) 平面ADEBと平面BEFC

(2) 平面ABCと平面ADFC

2. 解き方の手順

(1) 平面ADEBと平面BEFCのなす角について：

平面ADEBと平面BEFCの交線はBEです。

平面ADEBに対して、ABは垂直です。

平面BEFCに対して、BCは垂直です。

三角形ABCは直角二等辺三角形なので、$\angle ABC = 90^\circ$です。

したがって、平面ADEBと平面BEFCのなす角は$\angle ABC$、つまり、$90^\circ$です。

(2) 平面ABCと平面ADFCのなす角について：

平面ABCと平面ADFCの交線はACです。

三角形ABCは直角二等辺三角形なので、$AB = AC$です。

また、$AB$は平面ADFCに垂直な辺であるADと平行です。

したがって、平面ADFCに対して、AからACに下ろした垂線ABのなす角を考えます。

点Aから交線ACに下ろした垂線はABです。

また、平面ADFC上で点Aから交線ACに下ろした垂線はACとAFのなす角を半分にした角度になることが予想されます。

AD=BCなので、四角形ADCBは正方形で、ACは正方形の対角線なので、$AC = \sqrt{2} AB$になります。

また、$AF = \sqrt{AD^2 + DF^2}$であり、$AD = AB$かつ$DF = AB$なので、$AF = \sqrt{AB^2 + AB^2} = \sqrt{2} AB$です。

したがって、$AC=AF$となり、三角形ACFは二等辺三角形になります。

ここで平面ADFCと平面ABCのなす角を$\theta$とおくと、$\cos \theta = \frac{AB}{AD} = \frac{AB}{\sqrt{AB^2+AB^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$。

したがって、$\theta = 45^\circ$になります。

3. 最終的な答え

(1) $90^\circ$

(2) $45^\circ$