$\mathrm{OA} = 2\sqrt{2}$, $\mathrm{OB} = \sqrt{3}$, $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} = 2$ である $\triangle \mathrm{OAB}$ の重心を $\mathrm{H}$ とする。$\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \vec{a}$, $\overrightarrow{\mathrm{OB}} = \vec{b}$ とするとき、$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表す。

1. 問題の内容

$\mathrm{OA} = 2\sqrt{2}$, $\mathrm{OB} = \sqrt{3}$, $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} = 2$ である $\triangle \mathrm{OAB}$ の重心を $\mathrm{H}$ とする。$\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \vec{a}$, $\overrightarrow{\mathrm{OB}} = \vec{b}$ とするとき、$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

$\triangle \mathrm{OAB}$ の重心 $\mathrm{H}$ の位置ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ は、$\overrightarrow{\mathrm{OH}} = \frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}} + \overrightarrow{\mathrm{OB}} + \overrightarrow{\mathrm{OO}}}{3} = \frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}} + \overrightarrow{\mathrm{OB}}}{3}$ で表される。

なぜなら、$\overrightarrow{OO} = \vec{0}$ だからである。

したがって、$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて、

$$\overrightarrow{\mathrm{OH}} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{3} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$$

と表せる。

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{\mathrm{OH}} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$