$\mathrm{OA}=2\sqrt{2}$、$\mathrm{OB}=\sqrt{3}$、$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=2$ である $\triangle \mathrm{OAB}$ の重心を $\mathrm{H}$ とする。$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$ とするとき、$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ を $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ を用いて表す。

1. 問題の内容

$\mathrm{OA}=2\sqrt{2}$、$\mathrm{OB}=\sqrt{3}$、$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=2$ である $\triangle \mathrm{OAB}$ の重心を $\mathrm{H}$ とする。$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$ とするとき、$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ を $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

三角形の重心の公式を適用します。三角形 $\mathrm{OAB}$ の重心 $\mathrm{H}$ の位置ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ は、次のように表されます。

$\overrightarrow{\mathrm{OH}} = \frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}} + \overrightarrow{\mathrm{OB}} + \overrightarrow{\mathrm{OO}}}{3}$

ここで、$\overrightarrow{\mathrm{OO}}$ はゼロベクトルなので、

$\overrightarrow{\mathrm{OH}} = \frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}} + \overrightarrow{\mathrm{OB}}}{3}$

問題文より、$\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}} = \overrightarrow{b}$ なので、

$\overrightarrow{\mathrm{OH}} = \frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}}{3}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{\mathrm{OH}} = \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b}$