中心がO、直径ABが$4$の半円の弧の中点をMとする。Aから出た光線が弧MB上の点Pで反射して、AB上の点Qにくるとする。 (1) $\theta = \angle PAB$とするとき、$OQ$の長さを$\theta$で表せ。 (2) PがBに限りなく近づくとき、Qはどんな点に近づいていくか。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

中心がO、直径ABが$4$の半円の弧の中点をMとする。Aから出た光線が弧MB上の点Pで反射して、AB上の点Qにくるとする。

(1) $\theta = \angle PAB$とするとき、$OQ$の長さを$\theta$で表せ。

(2) PがBに限りなく近づくとき、Qはどんな点に近づいていくか。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\angle AOP = 2\theta$である。これは、$\angle PAB = \theta$より、弧PBの中心角が$2\theta$となることからわかる。

次に、$\angle OPQ = \angle OPB = \angle OAP + \angle APB = \theta + \angle APB$となる。

また、$\angle APB = \angle AOP / 2 = \pi / 2 - \theta$であるので、

$\angle OPQ = \theta + \pi / 2 - \theta = \pi / 2$.

つまり$\angle OPQ = \pi / 2$となり、$OP \perp PQ$となる。

次に、$OQ$の長さを求める。

$AO = PO = 2$であるから、$\triangle APO$は二等辺三角形である。

$\angle AOP = 2\theta$より、$\triangle APO$において余弦定理より、

$AP^2 = AO^2 + OP^2 - 2 AO \cdot OP \cos (2\theta)$

$AP^2 = 4 + 4 - 8 \cos (2\theta) = 8(1 - \cos (2\theta)) = 8 (2\sin^2 \theta) = 16 \sin^2 \theta$

$AP = 4\sin \theta$

次に、$\angle PAO = \theta$であるので、

$OQ = AO - AQ = 2 - AQ$

$\triangle APQ$において、

$\angle APQ = \pi - \angle PAQ - \angle AQP = \pi - \theta - (\pi / 2) = \pi / 2 - \theta$

$\tan \theta = \frac{PQ}{AQ}$

$\tan(\pi / 2 - \theta) = \frac{AQ}{PQ} = \cot \theta$

$\frac{PQ}{AP} = \sin \theta \implies PQ = AP \sin \theta = 4 \sin^2 \theta$

$\frac{AQ}{AP} = \cos \theta \implies AQ = AP \cos \theta = 4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin (2\theta)$

したがって、

$OQ = 2 - 2 \sin (2\theta)$.

(2)

PがBに限りなく近づくとき、$\theta \to \pi / 2$となる。

したがって、

$\lim_{\theta \to \pi / 2} OQ = \lim_{\theta \to \pi / 2} (2 - 2\sin(2\theta)) = 2 - 2 \sin(\pi) = 2$.

したがって、QはOに近づく。

3. 最終的な答え

(1) $OQ = 2 - 2\sin(2\theta)$

(2) QはOに近づく。