三角形ABCにおいて、$ \sin A : \sin B : \sin C = 1 : 3 : \sqrt{13} $が成り立つとき、この三角形の最大の角の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = 1 : 3 : \sqrt{13}$が成り立つとき、この三角形の最大の角の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、正弦定理より、$\sin A : \sin B : \sin C = a : b : c$が成り立ちます。したがって、$a : b : c = 1 : 3 : \sqrt{13}$となります。

ここで、$a = k, b = 3k, c = \sqrt{13}k$とおきます（$k>0$）。

三角形の最大の角は、最大の辺に対応します。したがって、角Cが最大の角となります。

余弦定理より、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$が成り立ちます。

これを変形して、$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$となります。

$a = k, b = 3k, c = \sqrt{13}k$を代入すると、

$\cos C = \frac{k^2 + (3k)^2 - (\sqrt{13}k)^2}{2 \cdot k \cdot 3k} = \frac{k^2 + 9k^2 - 13k^2}{6k^2} = \frac{-3k^2}{6k^2} = -\frac{1}{2}$

$\cos C = -\frac{1}{2}$となるのは、$C = 120^\circ$のときです。

3. 最終的な答え

120°