三角形ABCにおいて、$a:b = 1:3$、$\angle B = 60^{\circ}$が与えられている。 (1) $\sin A$の値を求めよ。 (2) $c=2$のとき、$a$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a:b = 1:3$、$\angle B = 60^{\circ}$が与えられている。

(1) $\sin A$の値を求めよ。

(2) $c=2$のとき、$a$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$が成り立つ。

$a:b = 1:3$より、$b = 3a$である。また、$B = 60^{\circ}$より、$\sin B = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$である。

これらの値を正弦定理の式に代入すると、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{3a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

両辺を$a$で割ると、

$\frac{1}{\sin A} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\frac{1}{\sin A} = \frac{6}{\sqrt{3}}$

$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{6}$

(2) 余弦定理より、$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$が成り立つ。

$b = 3a$、$c = 2$、$\angle B = 60^{\circ}$、$\cos B = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$を代入すると、

$(3a)^2 = a^2 + 2^2 - 2 \cdot a \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}$

$9a^2 = a^2 + 4 - 2a$

$8a^2 + 2a - 4 = 0$

$4a^2 + a - 2 = 0$

$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2)}}{2 \cdot 4}$

$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 32}}{8}$

$a = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{8}$

$a > 0$であるので、

$a = \frac{-1 + \sqrt{33}}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{6}$

(2) $a = \frac{-1 + \sqrt{33}}{8}$