母音 a, i, u, e, o と子音 k, s, t の8個の文字を1列に並べる。 (1) 両端が母音であるような並べ方は何通りあるか。 (2) 母音5個が続いて並ぶような並べ方は何通りあるか。

## 練習18

1. 問題の内容

母音 a, i, u, e, o と子音 k, s, t の8個の文字を1列に並べる。

(1) 両端が母音であるような並べ方は何通りあるか。

(2) 母音5個が続いて並ぶような並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 両端が母音である場合

* 両端に並べる母音の選び方は、5個から2個を選ぶ順列なので、$P(5, 2) = 5 \times 4 = 20$ 通り。

* 残りの6個の文字の並べ方は $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ 通り。

* よって、両端が母音である並べ方の総数は、$20 \times 720 = 14400$ 通り。

(2) 母音5個が続いて並ぶ場合

* 母音5個をひとまとめにして、それを1つのものとして考える。

* すると、並べるものは「母音の塊」と子音3個の計4個になる。

* これら4個の並べ方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

* 母音の塊の中での母音5個の並べ方は $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通り。

* よって、母音5個が続いて並ぶ並べ方の総数は、$24 \times 120 = 2880$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 14400通り

(2) 2880通り

## 練習19

1. 問題の内容

5個の数字 1, 2, 3, 4, 5 のうち異なる3個を並べて3桁の整数を作る。

(1) 5の倍数は何個作れるか。

(2) 偶数は何個作れるか。

(3) 奇数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

(1) 5の倍数

* 5の倍数になるためには、一の位が5である必要がある。

* 一の位が5で固定されているので、残りの百の位と十の位には1, 2, 3, 4のいずれかを入れる。

* 百の位の選び方は4通り。十の位の選び方は残りの3通り。

* よって、5の倍数は $4 \times 3 = 12$ 個作れる。

(2) 偶数

* 偶数になるためには、一の位が2または4である必要がある。

* 一の位が2の場合、百の位の選び方は4通り（1, 3, 4, 5）。十の位の選び方は残りの3通り。したがって、$4 \times 3 = 12$ 個。

* 一の位が4の場合も同様に、$4 \times 3 = 12$ 個。

* よって、偶数は $12 + 12 = 24$ 個作れる。

(3) 奇数

* 奇数になるためには、一の位が1, 3, 5のいずれかである必要がある。

* 一の位が1の場合、百の位の選び方は4通り（2, 3, 4, 5）。十の位の選び方は残りの3通り。したがって、$4 \times 3 = 12$ 個。

* 一の位が3の場合も同様に、$4 \times 3 = 12$ 個。

* 一の位が5の場合も同様に、$4 \times 3 = 12$ 個。

* よって、奇数は $12 + 12 + 12 = 36$ 個作れる。

* または、全ての3桁の整数は $5 \times 4 \times 3 = 60$ 個なので、奇数は $60 - 24 = 36$ 個。

3. 最終的な答え

(1) 12個

(2) 24個

(3) 36個