1から8までの数字が書かれた8個の玉があります。 (1) 箱Aに2個の玉を入れる方法は何通りあるか。 (2) 箱A, B, Cにそれぞれ2個ずつ玉を入れる方法は何通りあるか。さらに、箱Aと箱Bには5以下の数字が書かれた玉のみを入れ、箱Cには6以上の数字が書かれた玉のみを入れるような入れ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

1から8までの数字が書かれた8個の玉があります。

(1) 箱Aに2個の玉を入れる方法は何通りあるか。

(2) 箱A, B, Cにそれぞれ2個ずつ玉を入れる方法は何通りあるか。さらに、箱Aと箱Bには5以下の数字が書かれた玉のみを入れ、箱Cには6以上の数字が書かれた玉のみを入れるような入れ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 箱Aに入れる玉の選び方

8個の玉から2個を選ぶ組み合わせなので、組み合わせの公式を使います。

$_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

この問題の場合、$n=8$、$r=2$なので、

$_8C_2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

(2) 3つの箱への玉の入れ方

まず、8個から箱Aに入れる2個を選ぶ方法は$_{8}C_2$通りです。

次に、残りの6個から箱Bに入れる2個を選ぶ方法は$_{6}C_2$通りです。

最後に、残りの4個から箱Cに入れる2個を選ぶ方法は$_{4}C_2$通りです。

したがって、3つの箱への玉の入れ方は、積の法則により、

$_{8}C_2 \times _{6}C_2 \times _{4}C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 28 \times 15 \times 6 = 2520$

しかし、箱A, B, Cの区別がないので、順番が関係ない。そのため、3! = 6で割る必要があります。

よって、$\frac{2520}{3!} = 420$

次に、箱Aと箱Bには5以下の数字が書かれた玉のみを入れ、箱Cには6以上の数字が書かれた玉のみを入れる場合を考えます。

箱Aと箱Bに入れる数字は1, 2, 3, 4, 5の中から選び、箱Cに入れる数字は6, 7, 8の中から選びます。

箱Aに入れる2個の選び方は$_{5}C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り

箱Bに入れる2個の選び方は残りの3個から2個を選ぶので$_{3}C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通り

箱Cに入れる2個の選び方は$_{3}C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通り

箱A, B, Cの区別がないので, AとBの入れ替えを考慮する必要はありません。

箱Cは6以上の数字の玉しか入れないので、箱Cに入れる玉の選び方は3通りです。そして、残った5以下の数字からなる4つの玉から、箱Aに2つ、箱Bに2つ入れる組み合わせを考えます。箱Aと箱Bの区別があるので、$_4C_2 = 6$通りです。

したがって、箱Aと箱Bには5以下の数が書かれた玉だけを、箱Cには6以上の数が書かれた玉だけを入れるような入れ方は、10 x 3 = 30通り。ただし、A,Bの区別がないので、箱A,箱Bの選び方は1通り。

$_5C_2 \times _3C_2 \times _3C_2 = 10 \times 3 \times 1= 30$

3. 最終的な答え

(1) 箱Aに入れる玉の選び方は28通りです。

(2) 3つの箱への玉の入れ方は420通りです。また、箱Aと箱Bには5以下の数が書かれた玉だけを、箱Cには6以上の数が書かれた玉だけを入れるような入れ方は30通りです。