変数 $x$ のデータの平均 $\bar{x}$ が 25、分散 $s_x^2$ が 16 であるとき、以下の式で定義される変数 $y$ のデータについて、平均 $\bar{y}$、分散 $s_y^2$、標準偏差 $s_y$ をそれぞれ求めます。 (1) $y = x + 2$ (2) $y = 3x$ (3) $y = -2x + 4$

1. 問題の内容

変数 $x$ のデータの平均 $\bar{x}$ が 25、分散 $s_x^2$ が 16 であるとき、以下の式で定義される変数 $y$ のデータについて、平均 $\bar{y}$、分散 $s_y^2$、標準偏差 $s_y$ をそれぞれ求めます。

(1) $y = x + 2$

(2) $y = 3x$

(3) $y = -2x + 4$

2. 解き方の手順

変数の変換における平均、分散、標準偏差の性質を利用します。

(1) $y = x + 2$ の場合：

* 平均：$\bar{y} = \bar{x} + 2$

* 分散：$s_y^2 = s_x^2$

* 標準偏差：$s_y = s_x$

(2) $y = 3x$ の場合：

* 平均：$\bar{y} = 3\bar{x}$

* 分散：$s_y^2 = 3^2 s_x^2 = 9s_x^2$

* 標準偏差：$s_y = |3|s_x = 3s_x$

(3) $y = -2x + 4$ の場合：

* 平均：$\bar{y} = -2\bar{x} + 4$

* 分散：$s_y^2 = (-2)^2 s_x^2 = 4s_x^2$

* 標準偏差：$s_y = |-2|s_x = 2s_x$

それぞれのケースについて具体的な数値を代入して計算します。分散が与えられているので、標準偏差は分散の平方根で求めます。$s_x = \sqrt{s_x^2} = \sqrt{16} = 4$

(1) $y = x + 2$ の場合：

* $\bar{y} = 25 + 2 = 27$

* $s_y^2 = 16$

* $s_y = \sqrt{16} = 4$

(2) $y = 3x$ の場合：

* $\bar{y} = 3 \times 25 = 75$

* $s_y^2 = 9 \times 16 = 144$

* $s_y = 3 \times 4 = 12$

(3) $y = -2x + 4$ の場合：

* $\bar{y} = -2 \times 25 + 4 = -50 + 4 = -46$

* $s_y^2 = 4 \times 16 = 64$

* $s_y = 2 \times 4 = 8$

3. 最終的な答え

(1) $y = x + 2$ のとき:

* 平均 $\bar{y} = 27$

* 分散 $s_y^2 = 16$

* 標準偏差 $s_y = 4$

(2) $y = 3x$ のとき:

* 平均 $\bar{y} = 75$

* 分散 $s_y^2 = 144$

* 標準偏差 $s_y = 12$

(3) $y = -2x + 4$ のとき:

* 平均 $\bar{y} = -46$

* 分散 $s_y^2 = 64$

* 標準偏差 $s_y = 8$