与えられた3次方程式 $4x^3 + 3x - 2 = 0$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $4x^3 + 3x - 2 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を $f(x) = 4x^3 + 3x - 2$ とおきます。

$x$ にいくつかの値を代入して、解の存在範囲を探します。

$f(0) = 4(0)^3 + 3(0) - 2 = -2$

$f(1) = 4(1)^3 + 3(1) - 2 = 4 + 3 - 2 = 5$

$f(0) < 0$ であり、$f(1) > 0$ なので、中間値の定理より、$0 < x < 1$ の範囲に少なくとも1つの実数解が存在します。

次に、この方程式が簡単な解を持つかどうかを確認するために、有理根定理を適用します。

可能な有理根は、定数項の約数 (この場合は -2) を最高次数の係数の約数 (この場合は 4) で割ったものです。

つまり、可能な有理根は $\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}$ です。

これらの値を $f(x)$ に代入して確認します。

$f(\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{2})^3 + 3(\frac{1}{2}) - 2 = 4(\frac{1}{8}) + \frac{3}{2} - 2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 2 = \frac{4}{2} - 2 = 2 - 2 = 0$

したがって、$x = \frac{1}{2}$ は方程式の解です。

$x = \frac{1}{2}$ が解なので、$f(x)$ は $(x - \frac{1}{2})$ を因数に持ちます。

$f(x)$ を $(x - \frac{1}{2})$ で割ります。または、$2x - 1$で割ってもよいです。

$4x^3 + 3x - 2 = (2x - 1)(2x^2 + x + 2)$

残りの解を見つけるために、$2x^2 + x + 2 = 0$ を解きます。

これは二次方程式なので、解の公式を使います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(2)}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 16}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{-15}}{4} = \frac{-1 \pm i\sqrt{15}}{4}$

したがって、残りの2つの解は複素数です。

3. 最終的な答え

$x = \frac{1}{2}, \frac{-1 + i\sqrt{15}}{4}, \frac{-1 - i\sqrt{15}}{4}$